Una pregunta sobre la convergencia de series.

Question

Si$\hspace{0.3cm}$$\sum a_n$ y$\hspace{0.3cm}$$\sum b_n$$\hspace{0.3cm}$ son convergentes, ¿cuál de los siguientes es verdadero?

$1.$$\hspace{0.3cm}$$a_{n+1}<a_n$$\hspace{0.3cm}$$\forall n$

$2.$$\hspace{0.3cm}$$\sum a_nb_n$ converge.

$3.$$\hspace{0.3cm}$$a_n^2<a_n$$\hspace{0.3cm}$$ \forall n$

Mi intento

$2$ no es cierto porque tengo un ejemplo de contador

$a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

$1$ tampoco es cierto en el mismo ejemplo

$a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

Tengo un problema con la tercera opción. Ayúdeme a probarlo o refutarlo. Gracias

Answer 1

Ampliando la respuesta de André Nicolas, considere la misma serie que ha usado antes,$$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}},$$ and consider $ n = 3 $.