¿Cómo demostrar que una función está bien definida?

Question

Sé lo que significa "bien definido" y sé cómo demostrar que algo específicamente no es bien definida, es decir, presentando un caso en el que dos formas diferentes pero equivalentes de $x$ tienen diferentes imágenes $f(x)$ ... Pero si me dan una función y me piden que demuestre que ESTÁ bien definida, ¿qué pasos tengo que dar para demostrarlo?

Tomemos por ejemplo la afirmación de que se pueden sumar y multiplicar clases de congruencia como tal:

• $[a]+[c]=[a+c]$ y
• $[a]\cdot[c]=[a\cdot c]$

Mi libro de texto dice que ambas son afirmaciones bien definidas porque el teorema que $a\equiv b\mod{m}$ y $c\equiv d\mod{m}$ implican que $a+c\equiv b+d\mod{m}$ y $ac\equiv bd\mod{m}$ implica que son... No puedo entender por qué.

Pero en general, dejando de lado este ejemplo concreto, ¿qué pasos debo seguir para demostrar que algo está bien definido?

Answer 1

Moralmente, afirmar que un objeto está "bien definido" significa que no debería importar el nombre que le demos. En este caso, podríamos tener problemas, ya que $a$ y $a + m$ son dos nombres de apariencia muy diferente para el mismo objeto, ya que sólo estamos considerando números hasta la suma de múltiplos de $m$ .

Así que, en general, para comprobar la buena definición, hay que escribir un objeto y un arbitrario nombre para ella, y asegúrese de que el nombre particular no cambia el resultado de una función.

Así que aquí en particular, si fijamos un número entero $a$ sus otros nombres son todos de la forma $a + km$ con $k$ un número entero. Asimismo, cada nombre de $c$ tiene la forma $c + nm$ para algunos $n$ . Ahora comprueba que el resultado usando $a$ y $c$ coincide con el resultado obtenido al utilizar $a + km$ y $c + nm$ y ya está.

Answer 2

Es difícil dar una respuesta completamente general, porque el término "bien definido" se utiliza a menudo de forma incorrecta (se podría decir que no es un término bien definido.) Pero podemos generalizar ligeramente para decir que una función sobre tuplas de clases de equivalencia "definida" como

\begin {align} \tag {*} f([a_1], \ldots ,[a_n]) = [g(a_1, \ldots ,a_n)] \end {align}

está bien definida si tenemos \begin {align} \tag {**} [g(a_1, \ldots ,a_n)] = [g(a_1', \ldots ,a_n')] \text { siempre que }[a_i] = [a_i'] \text { para todo } i \in \{1, \ldots ,n\}. \end {align}

La razón de esto es que generalmente se define un $n$ -función primaria $f$ diciendo lo que $f(C_1,\ldots,C_n)$ es para todos los valores posibles de los argumentos $C_1,\ldots,C_n$ . Aunque los argumentos $C_i$ pueden escribirse como clases de equivalencia $[a_i]$ no se puede utilizar los valores de $a_i$ al especificar el valor de la función $f$ ; sólo se permite utilizar los valores de los argumentos $C_i$ . Pero a veces la "definición" más conveniente aparece depender de $a_i$ en cuyo caso hay que comprobar que realmente sólo depende de las clases de equivalencia $C_i = [a_i]$ .

Si esta condición (**) falla, entonces coloquialmente se dice "la función $f$ no está bien definido". Pero en realidad no hay ninguna función $f$ en absoluto en este caso: si (**) falla entonces la afirmación (*) no es una definición de nada, es sólo un absurdo.

Answer 3

¿Qué hace que el concepto de función bien definida $f$ confuso es el hecho de que las funciones están por definición bien definidas. Así que para explicar lo que significa no estar bien definido, tenemos que tomar un ejemplo en el que $f$ no es una función.

Tomemos el siguiente procedimiento y llamémoslo $f$ : La entrada es un número entero $n$ . La salida de $f$ es un elemento de $\{n+1,\ldots,n+6\}$ determinado por el lanzamiento de un dado. Este procedimiento toma un número entero $n$ como entrada, y devuelve un entero como salida. Pero no está bien definido, porque si se calcula $f(n)$ varias veces para el mismo $n$ no siempre se obtiene el mismo resultado. El término utilizado para describir este comportamiento es decir que $f$ no está bien definido.

Suponga que tiene algún procedimiento $f$ que toma como entrada un elemento de un conjunto $X$ y devuelve como salida un elemento de un conjunto $Y$ . Entonces sólo puede llamar a $f$ una función si se puede demostrar que $x=y$ implica $f(x) = f(y)$ . Esto puede parecer obvio a primera vista, pero a menudo no es trivial. Por ejemplo, supongamos que el procedimiento $f$ implica elegir un elemento de algún conjunto no vacío. En este caso, para demostrar que $f$ está bien definida (y por lo tanto: una función), tienes que demostrar que cualquier elección que hayas podido hacer dará como resultado la misma salida $f(x)$ .

Ahora veamos cómo se aplica esto a su ejemplo en el que $[a] + [c]$ se define como $[a+c]$ . Aquí, el procedimiento de adición $+$ recibe dos clases de congruencia como entradas: $[a]$ y $[c]$ . NO recibe $a$ y $c$ como entrada. Por lo tanto, el procedimiento de adición se ve obligado a tomar dos decisiones: tiene que elegir un elemento del conjunto $[a]$ y un elemento del conjunto $[c]$ . A continuación, los suma, y la salida será la clase de congruencia de la suma. Para demostrar que este procedimiento de suma está bien definido, hay que demostrar que el resultado final no depende de las dos opciones (no es difícil demostrarlo, lo más importante es entender por qué hay que demostrarlo en primer lugar).