Si $\cos2\theta=0$ entonces $\Delta^2=$ ?

Question

Expondré aquí la pregunta de mi libro de texto:

Si $\cos2\theta=0$ entonces $\begin{vmatrix} 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{vmatrix}^2=$ ?

Así es como resolví el problema:

$\begin{vmatrix} 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{vmatrix}^2$

$= (\cos^3 \theta + \sin^3 \theta)^2$

$= (\cos \theta + \sin \theta)^2(\cos^2 \theta - \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta)^2$

$= (1+ \sin2\theta)(1-\sin2\theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta)$

$= (1+ \sin2\theta)(1-\sin2\theta) + (1 + \sin2\theta)\sin^2\theta \cos^2 \theta$

$= \cos^2 2\theta + \frac 14 (1 + \sin2\theta)\sin^2 2\theta$

$= \frac 14 (1 + \sin2\theta)\sin^2 2\theta$

Ahora que $\cos2\theta=0$ , $\sin2\theta = \pm 1$ .

Por lo tanto, la expresión anterior puede tomar los valores 0 y $\frac12$ .

Mi libro de texto da la respuesta como $\frac12$ . No veo ningún motivo para rechazar la otra respuesta de 0. ¿Me he equivocado en algo? ¿O me olvido de algo?

Answer 1

En caso de duda, utiliza las relaciones del problema original. Sea $\theta=\frac{3\pi}4$ . Entonces $\cos2\theta=0$ mientras que $\sin\theta=\sqrt2/2=a$ et $\cos\theta=-\sqrt2/2=-a$ .

La expresión de la pregunta es ahora $$\begin{vmatrix}0&-a&a\\-a&a&0\\a&0&-a\end{vmatrix}^2$$ Es evidente que sumando las tres filas de la matriz se obtiene el vector cero, por lo que toda la expresión se evalúa como cero. Tu trabajo es totalmente correcto: el libro se equivoca al omitir 0 como respuesta.

El resultado de $\frac12$ se obtiene con la otra solución principal de $\cos2\theta=0$ , $\theta=\frac\pi4$ .

Answer 2

Tienes razón, en efecto, por cálculo directo obtenemos

$$\cos 2\theta=0\iff \theta=\frac{\pi}4+k\frac{\pi}2$$

y puesto que

$$\Delta^2=\begin{vmatrix} 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{vmatrix}^2= (-\cos^3 \theta - \sin^3 \theta)^2$$

• para $\theta=\frac{\pi}4 \implies \Delta^2=\left(-\frac{2\sqrt 2}{4}\right)^2=\frac12$
• para $\theta=\frac{3\pi}4\implies \Delta^2=0$
• para $\theta=\frac{5\pi}4\implies \Delta^2=\left(\frac{2\sqrt 2}{4}\right)^2=\frac12$
• para $\theta=\frac{7\pi}4\implies \Delta^2=0$

Answer 3

Si calculamos el cuadrado de la matriz, obtenemos $$ \begin{bmatrix} 1 & \sin\theta\cos\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & 1 & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin\theta\cos\theta & 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & \sin2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & 2 & \sin2\theta \\ \sin2\theta & \sin2\theta & 2 \end{bmatrix} $$ cuyo determinante es $$ \frac{1}{8}(8+2\sin^32\theta-6\sin^22\theta) $$ En $\cos2\theta=0$ tenemos $\sin^22\theta=1$ por lo que finalmente obtenemos $$ \Delta^2=\frac{1}{4}(1+\sin2\theta)= \begin{cases} 1/2 & \text{if $\sin2\theta=1$}\\[4px] 0 & \text{if $\sin2\theta=-1$} \end{cases} $$ ambas posibilidades están permitidas por la hipótesis de que $\cos2\theta=0$ .