Deje $p\geqslant 5$ ser una de las primeras. Quiero resolver $$4p=x^{2}+27y^{2} \tag{1}\quad x,y\in \Bbb N$$
Esto viene al considerar el discriminante de un polinomio cúbico $T^3 -pT-yp$ con grupo cíclico. Sólo hay formas elementales para encontrar soluciones? Sólo he conseguido un poco de ella.
En primer lugar, desde el lado derecho de (1) debe ser par, entonces x y y tienen la misma paridad.
Si $p$ es primo, entonces $\mathrm{gcd}(p,6)=1\Rightarrow p=1,5\mod6$.
El uso de la sugerencia. Caso $p=5+6m$. Si $x,y$ son incluso, deje $x=2x',y=2y'$$5+6m=x'^{2}+27y'^{2}$. A continuación, modulo 3, obtenemos $2\equiv x'^{2}\mod3$, imposible. Por lo tanto $x,y$ son ambos impares. Deje $x=2x'+1$$y=2y'+1$$6m=(x'^{2}+x')+23+27(y'^{2}+y')$. Modulo 3, esto da $x'^{2}+x'\equiv1\mod3$, sin soluciones en $\mathbb{F}_{3}$. Para ello, la ecuación (1) no tiene ninguna solución al $p=5+6m$.
Para el caso de $p=1+6m$. La ecuación (1), en $4+24m=x^{2}+27y^{2}$.
Si $x,y$ son incluso, deje $x=2x'$$y=2y'$. A continuación,$1+6m=x'^{2}+27y'^{2}$. Desde $x'^{2}-1=6m-27y'^{2}$, $x$ $y$ puede ser incluso sólo al $m\geqslant5\Leftrightarrow p\geqslant31$.
Se sigue que cuando $m\leqslant4$ que $x$ $y$ son necesariamente impar. Deje $x=2x'+1$$y=2y'+1$. A continuación,$6(m-1)=x'^{2}+x'+27(y'^{2}+y')$. Desde $6(m-1)\leqslant18$,$y'=0\Rightarrow y=1$. Esto le da a $x'^{2}+x'=6(m-1)$. Por ejemplo, $m=3\Leftrightarrow p=19$,$12=x'+x'^{2}$$x'=3$$x=7$.
