Informática $ \lim_{n\rightarrow\infty} (\sqrt[n]{1}+\sqrt[n]{2}+\cdots+\sqrt[n]{2007}-2006)^n $

Question

Estoy tratando de encontrar:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty} (\sqrt[n]{1}+\sqrt[n]{2}+\cdots+\sqrt[n]{2007}-2006)^n $$

(Problema de CMJ)

Lo tenemos:

$$ k^{1/n}=1+\frac{\ln k}{n}+O(1/n^2) $$

$$ \left( \sum_{k=1}^{2007}k^{1/n}-2006 \right)^n= \left(1+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2007}\ln k+O(1/n^2) \right)^n \sim_{n\rightarrow\infty} \exp \left( \sum_{k=1}^{2007} \ln k \right)(=2007!)$$

Estoy bastante seguro de mi resultado pero no he podido comprobarlo numéricamente.

¿Está de acuerdo con este límite?

Answer 1

Sí, tu límite parece estar bien. Puedes simplificarlo más en $$\exp \left( \sum_{k=1}^{2007} \log (k) \right) = \exp \left( \log \left(\prod_{k=1}^{2007} k \right) \right) = \exp \left( \log (2007!) \right) = 2007!$$

Answer 2

Tome el registro de su expresión y reemplace $x=\frac{1}{n}$ , se entiende la expresión:

$$\frac{\log\left((\sum_{k=1}^{2007} k^x) - 2006\right)}{x}$$

En primer lugar, mostrar que el numerador se aproxima a cero como $x\to 0$ . A continuación, aplique la regla de L'Hopital, obteniendo un límite:

$$ \sum_{k=1}^{2007} \log k = \log 2007!$$

Ese es el registro de su límite, por lo que su límite es $e^{\log 2007!}=2007!$