¿Puede$V$ solo tener ordenaciones definibles con respecto a un parámetro?

Question

En esta respuesta, el Profesor Hamkins da una prueba de que para los modelos de $M$ de ZF, $M$ ser un modelo de $\text{ZFC} + V = \text{HOD}$ es equivalente a que exista una definibles por el buen orden del universo:

http://mathoverflow.net/a/180734

Su argumento se extiende fácilmente a una equivalencia de estas propiedades a $M$ tener un buen orden del universo definibles con respecto a un ordinal parámetro. Por lo tanto, si hay buen orden del universo con respecto a algún parámetro $p,$, pero no hay un buen orden de $V$ definible sin parámetros, entonces necesariamente $p \not \in \text{OD}$. Es esta situación? Mi intuición es que no debería ser posible, ya que no creo que un no-ordinal parámetro debe ser capaz de definir algo tan fundamental cuando un ordinal no puede hacer lo mismo.

Answer 1

Por supuesto.

Si usted comienza con un modelo donde hay un definibles por el buen orden, decir $V=L$, y agregar una sola Cohen real $r$ tienes que:

1. $V=L[r]$, por lo que hay un definibles por el bien del orden de un parámetro de $r$ (por ejemplo, dados dos conjuntos en $L[r]$ pida que uno tiene un nombre que aparece primero en el orden de la planta modelo, aquí $L$, que cuando se interpreta con $r$ como el genérico de darle los dos conjuntos).
2. Desde el Cohen forzar es homogénea, $L=\mathsf{HOD}^L=\mathsf{HOD}^{L[r]}\neq L[r]$.

Así, mientras que hay un buen orden definibles a partir de un parámetro, que en este caso es un número real (lea: un subconjunto de a $\omega$), no se bien el pedido de que es definible sin parámetros o de los números ordinales.

(Este argumento muestra que cualquier conjunto obligando a más de un modelo global a bien ordenar a partir de los parámetros también tendrá un pozo de pedido definibles a partir de un parámetro. Usted puede infringir que con una clase de forzar, sin embargo.)