Dos círculos$c_1$ y$c_2$ se intersecan entre sí en los puntos$A$ y$B$. Su tangente externa externa más cerca de$B$ toca$c_1$ en$P$ y$c_2$ en$Q$. Deje que el punto$C$ sea el reflejo de$B$ en la línea$PQ$. Demuestre que el ángulo$CAP$ = ángulo$BAQ$.
Respuesta
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Asumir círculo de $c_1$ tiene menor radio de $c_2.$ Extender las dos tangentes comunes a $c_1$ $c_2$ hasta que se intersecan en un punto común $O$ y dibujar el circulo $c_O$ centro $O$ pasando exhaustiva punto de $A$. A continuación, $c_O$ también pasa a través de $B$$C$. en consecuencia, $$\angle \, BAC = \frac{1}{2} \, \angle \, BOC = \angle \, BOP$$ Let $\ángulo \, BAP = \alpha$ and $\ángulo \, BAQ = \beta$. Then $\ángulo \, BPQ = \ángulo \, BAP = \alpha$ and $\ángulo \, BQP = \ángulo \, BAQ = \beta$ because these are angles associated to the common tangent $PQ$ to $c_1$ and $c_2$.
Deje $OB$ se cruzan $c_1$$c_2$$B_1$$B_2$, respectivamente, siendo el segundo de los puntos de intersección. Si realiza una homothety con el centro $O$ asignación de $c_1$ $c_2$ $B_1$se asigna a $B$ $B$ se asigna a $B_2$, mientras que $P$ se asigna a $Q$ (puntos tangentes). Por lo tanto $$\angle \, OBP = \angle \, B_1BP = \angle \, BB_2Q = \angle \, BQP = \beta$$ Forma de triángulo $OBP$ $$\angle \, BOP = \angle \, BPQ - \angle \, OBP = \alpha - \beta$$ Entonces $$\angle \, BAC = \angle \, BOP = \alpha - \beta$$ En consecuencia, $$\angle \, CAP = \angle \, BAP - \angle \, BAC = \alpha - (\alpha - \beta) = \beta = \angle \, BAQ$$
Alternativamente, si usted es un fan de las inversiones, puede realizar la inversión con respecto al $c_O$. A continuación, círculo de $c_1$ se asigna al círculo de $c_2$ (y viceversa) y el punto de $P$ se asigna a $Q$. Por lo tanto, si usted desea $OP \cdot OQ = OB^2$, lo que conduce a $\angle \, OBP = \angle \, BQP = \beta$ o si lo prefiere el círculo de $c^*$ pasando a través de $P, B, Q$ se asigna a sí mismo, por lo que es ortogonal a$c_O$, lo que significa que $OB$ es tangente al círculo en $c^*$ a punto de $B$ y de nuevo $\angle \, OBP = \angle \, BQP = \beta$.
