Los 4 subgrupos de Klein

Question

Acabo de empezar a aprender sobre la teoría de grupos. Y, aprendí sobre el grupo 4 de Klein. Traté de demostrar que dos subgrupos distintos de Klein 4 de un grupo se cruzan sólo en la identidad. Pero no puedo. Así que por favor ayúdame.

Answer 1

Parece que quiere demostrar que si $V_{1}$ y $V_{2}$ son distintos Klein $4$ -subgrupos de un grupo $G$ entonces $V_{1}$ y $V_{2}$ tienen una intersección trivial.

Esto no es cierto. Toma $G = S_{6}$ y $$V_{1} = \langle (1,2), (3,4)\rangle \;\;\text{and}\;\; V_{2} = \langle (3,4), (5,6)\rangle.$$ Entonces $V_{1}$ y $V_{2}$ son ambos subgrupos de $G = S_{6}$ , cada una de ellas isomorfa a la de Klein $4$ -grupo, pero $V_{1}\cap V_{2} = \langle (3,4)\rangle\neq 1$ .

Answer 2

O un ejemplo aún más pequeño - $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Tomemos los 4 grupos de Klein $V=\{(0,0,0), (1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}$ y $W=\{(0,0,0), (0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)\}$ entonces $V \cap W=\{(0,0,0), (0,1,0)\}$ .