Cómo pensar en la multiplicación con un número $0 <x < 1$?

Question

Para aclarar mi confusión:

$88 \cdot 0.732$ es lo mismo que $0.732 \cdot 88$

El último: 0.732 ochenta y ocho veces: $0.732 + 0.732 + 0.732 + \cdots + 0.732$

Pero, ¿cómo pensar acerca de $88 \cdot 0.732$? eso es $88\quad0.732$ veces?

Se puede ver lo que me molesta? Pido disculpas si estos son extrañas preguntas, pero es que realmente me molesta.

Answer 1

Dibujar una línea de $0.7$ unidades de longitud. Cadena de $6$ de ellas juntas. Eso es $6\times 0.7$.

Ahora dibuje una línea $6$ unidades de longitud. Piense acerca de cómo la cadena de $0.7$ de ellas juntas. Sólo $1$ $6$ unidades de longitud. $0.7$ es de menos de $1$, lo $0.7$ de ellos sería más corto. Sería de siete décimas de esa longitud.

De cualquier manera, se obtiene la longitud de la misma.

$0.7\times 6 = 6\times 0.7 = 4.2$

Primer vistazo a esto: $$ \begin{array} & 0 & & & & & & & & 0.7 & & & 1\\ | & & & & & & & & \downarrow & & & | \\ \hline | & & & & & & & & \uparrow & & & | \end{array} $$ y, a continuación, en este: $$ \begin{array} & 0 & & & & & & & & 4.2 & & & 6\\ | & & & & & & & & \downarrow & & & | \\ \hline | & & & & & & & & \uparrow & & & | \end{array} $$

Answer 2

Una manera de pensar acerca de los números reales es ver como lengthes. En ese entorno, el producto $a \times b$ representa el área de un rectángulo cuyos lados se $a$ $b$ (no estoy de definir con precisión, pero sólo confiar en su intuición aquí). Esto explica fácilmente por qué $a \times b = b \times a$.

Ahora en el caso especial donde $n$ es un número entero (y sólo en ese caso), podemos comprobar que el $n \times x$ también tiene el significado

$$n \times x = \underbrace{x + \ldots + x}_{n \textrm{ times}}$$

De hecho, es fácil ver por qué la $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ (dividir un rectángulo en dos a lo largo de la $a+b$ lado) y $1 \times a = a$. Así que el uso de esta propiedades, obtenemos

$$2 \times x = (1+1) \times x = x + x$$ $$3 \times x = (2+1) \times x = x + x + x$$ $$4 \times x = (3+1) \times x = x + x + x + x$$ $$5 \times x = (4+1) \times x = x + x + x + x + x$$

Y así sucesivamente.

Answer 3

Suena como que no hay nada mágico acerca de $0 \lt x \lt 1$. El mismo problema existe con $1.732\times 88$ o $1.732 \times 2.438$. El verdadero problema es la ampliación de la operación de multiplicación de los naturales, en primer lugar para los racionales, entonces a los reales. Como J. M. sugirió que, si crees en los racionales es natural definir $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ (y si no, ¿por qué preocuparse de la multiplicación?). Con $b=d=1$ esta es la multiplicación de los naturales, entonces con $b=c$ $d=1$ se siente a la derecha y seguir. Por los reales es más difícil-que yo sepa usted necesita tomar secuencias convergentes o Dedekind cortes. Depende de cómo definir los reales o lo que la secuencia a desarrollar sus propiedades.

Answer 4

La forma de pensar acerca de la multiplicación por un número entre 0 y 1 es como la multiplicación.

La idea de la visualización de la multiplicación como adición repetida es un asistente para ayudarle a empezar a formar un concepto mental de la multiplicación (y es una particular aplicación de la multiplicación), pero no está destinado a ser la manera de pensar acerca de la multiplicación por el resto de su vida!

Pero aparte de eso, el fraseo de la pregunta la hace sonar como si usted está considerando una interpretación de la multiplicación que abarca productos como $88 \times 4.732$ $88 \times 1.732$ -- se puede extender para cubrir $88 \times 0.732$ por algo como el siguiente?

$88 \times 0.732$ es igual a $88 \times 1.732$, pero con un menor de copia de $88$.