Encontrar el radio del círculo analíticamente

Question

Dado el círculo como se ve en la imagen adjunta, encontrar el radio del círculo analíticamente. Es que incluso posible? Sé que puede ser encontrado de forma numérica. Si la solución analítica no existe, también puede proporcionar alguna sugerencia ¿por qué no?

Si no está claro: sólo Se sabe $c$$s$.

Answer 1

En la representación de configuración, $c=2R\sin\theta$$s=2R(\pi-\theta)$. Deje $\varphi=\pi-\theta$$k=\frac{c}{s}$.

Dado $c$$s$, con el fin de encontrar $\varphi$ tenemos para solucionar $\frac{\sin \varphi}{\varphi} = \frac{c}{s}$ o $$ \sin(\varphi) = k\cdot\varphi \tag{1}$$ que tiene una única solución a $\varphi\in (0,\pi)$ desde el seno de la función es cóncava durante ese intervalo y sus derivados está delimitado por uno en valor absoluto. $(1)$ no tiene solución explícita, pero el método de Newton es muy eficaz en la búsqueda de una solución aproximada. Un buen punto de partida para el método de Newton puede ser la solución aproximada de la ecuación: $$ \frac{4}{\pi^2}\varphi(\pi-\varphi) = k\cdot \varphi, \tag{2}$$ es decir,$\displaystyle\varphi_0 = \frac{\pi(4-k\pi)}{4}$.