Derivando la fórmula de búfer

Question

Básicamente quiero para derivar la fórmula de búfer: $\ce{pH}$ = $\mathrm{p}K_\mathrm {a}$ + $\log$ $\left(\frac{\alpha}{1-\alpha} \right)$ a $\alpha$ = $\left(\frac{1}{10^{\mathrm{p}K_\mathrm{a}-\ce{pH}}+1} \right)$ Voy a incluir todo lo que había hecho tratando de resolver esto aquí (y también para mostrar a donde me quedé atrapado):

$$\ce{pH} = \mathrm{p}K_\mathrm{a} + \log(\alpha) - \log(1-\alpha)$$

$$\ce{pH} - \mathrm{p}K_\mathrm{a} + \log(1-\alpha) = \log(\alpha)$$

$$\alpha = 10^{\ce{pH}-\mathrm{p}K_\mathrm{a}+\log(1-\alpha)}$$

$$\alpha = 10^{\ce{pH}} \times 10^{-\mathrm{p}K_\mathrm{a}} \times 10^{\log(1-\alpha)}$$

$$\alpha = 10^{-\log\ce{[H+]}} \times 10^{\log(K_\mathrm{a})} \times 10^{\log(1-\alpha)}$$

$$\alpha = \ce{[H+]}^{-1} \times K_\mathrm{a} \times (1-\alpha)$$

$$K_\mathrm{a} = \left(\frac{\alpha \times \ce{[H+]}}{(1-\alpha)}\right)$$

Así que en este punto me quedé atrapado y no tienen idea de cómo deshacerse de un $\alpha$ a completar la derivación. Agradecemos cualquier ayuda.

Edit: conseguido completar. Para aquellos que están interesados en cómo lo había hecho en la final: $$\ce{pH}-\ce{pK_\mathrm{a}} = \log\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\right)$$

$$10^{pH-pK_\mathrm{a}} = \left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\right)$$

$$10^{pH-pK_\mathrm{a}} - (\alpha 10^{pH-pK_a}) = \alpha$$

$$10^{pH-pK_a} = \alpha + \alpha 10^{pH-pK_\mathrm{a}}$$

$$10^{pH-pK_a} = \alpha(1 + 10^{pH-pk_a})$$

$$\left(\frac{10^{pH-pK_a}}{1 + 10^{pH-pK_a}}\right) = \alpha$$

divide el numerador por sí = 1 y por lo tanto también dividir el denominador por el numerador.

$$\left(\frac{10^{pH-pK_a}}{10^{pH-pK_a}}\right)/\left(\frac{1+10^{pH-pK_a}}{10^{pH-pK_a}}\right) =$$

$$\left(\frac{1}{1+10^{pH-pK_a}/10^{pH-pK_a}}\right)$$

trabajando el denominador:

$$\left(\frac{1}{10^{pH-pK_a}}\right) + \left(\frac{10^{pH-pK_a}}{10^{pH-pK_a}}\right) ->$$

$$\left(\frac{1}{10^{pH-pK_a}}\right) +1$$

ahora la última fracción:

$$\left(\frac{1}{10^{pH-pK_a}}\right) = \left(\frac{1}{10^{pH} \times 10^{-pK_a}}\right) = (10^{pH})^{-1} \times (10^{-pK_a})^{-1}$$ finalmente, se obtiene:

$$\alpha = \left(\frac{1}{10^{pK_a-pH}+1}\right)$$

Answer 1

$$\ce{pH} = \mathrm{p}K_\mathrm {a} + \log \left(\frac{\alpha}{1-\alpha} \right)$$ Multiplicar la ecuación por $-1$:

$$-\ce{pH} = -\mathrm{p}K_\mathrm {a} + \log \left(\frac{1-\alpha} {\alpha}\right)$$ Reorganizar la ecuación $$-\ce{pH} +\mathrm{p}K_\mathrm {a} = \log \left(\frac{1-\alpha} {\alpha}\right)$$

Aplicar la definición de $\log$

$$10^{-\ce{pH} +\mathrm{p}K_\mathrm {a}} = \frac{1-\alpha} {\alpha}= \frac{1}{\alpha} -1$$ Reorganizar la ecuación $$1+ 10^{-\ce{pH} +\mathrm{p}K_\mathrm {a}} = \frac{1}{\alpha} $$ Así, $$\alpha= \frac{1}{ 1+ 10^{-\ce{pH} +\mathrm{p}K_\mathrm {a}} } $$