Por qué $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{C} \not\cong \mathbb{C}\times\mathbb{C}$

Question

Me pregunto si esto es cierto o no: $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{C} \cong \mathbb{C}\times\mathbb{C}$ (como suena). Cualquier ayuda o sugerencia sería útil.

Answer 1

La ecuación de $x^2=2$ tiene (al menos) $8$ soluciones distintas $$\pm \sqrt{2} \otimes 1$$ $$1 \otimes \pm \sqrt{2}$$ $$\pm i \sqrt{2} \otimes i$$ $$i \otimes \pm i\sqrt{2}$$ in $\mathbf C \otimes_{\mathbf Q} \mathbf C$, whereas it only has $4$ solutions $(\pm \sqrt 2, \pm \sqrt 2)$ in $\mathbf C\times \mathbf C$.

Answer 2

La única correcta no trivial de cocientes de a $\Bbb C\times\Bbb C$ $\cong\Bbb C$ sí.

Pero $\Bbb C\otimes_{\Bbb R}\Bbb C\not\cong\Bbb C$ es un buen trivial cociente de $\Bbb C\otimes_{\Bbb Q}\Bbb C$.

Answer 3

$\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ es noetherian, sino $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$ no es noetherian.

Específicamente, $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C} \to \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})} \mathbb{C} \to \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})} \mathbb{C} \to \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})} \mathbb{C} \dotsc$ es una secuencia infinita de surjective anillo homomorphisms que hay isomorphisms.