Para demostrar $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \cdots \frac{(2n-1)}{2n} \le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Question

Para demostrar $$P=\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \cdots \frac{(2n-1)}{2n}\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$$

he escrito $P$

$$P=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^2}=\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}$$

Ahora

$$P=\frac{\binom{2n}{n}}{(1+3)^n} \lt \frac{\binom{2n}{n}}{1+3n}$$ desde

$$(1+3)^n=1+3n+\binom{n}{2}3^2+\cdots$$

Cualquier ayuda aquí..

Answer 1

Tenemos que demostrar que el $$\binom{2n}{n}\leq\frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}.$$ En efecto, por inducción de $n=1$ se obtiene una igualdad.

Ahora, $$\binom{2n+2}{n+1}=\binom{2n}{n}\cdot\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\leq\frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(2n+1)}{n+1}.$$ Por lo tanto, queda por demostrar que $$\frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2(2n+1)}{n+1}\leq\frac{4^{n+1}}{\sqrt{3n+4}},$$ que es $$(2n+2)^2(3n+1)\geq(2n+1)^2(3n+4)$$ or $$n\geq0.$$

Hecho!

Answer 2

Podemos utilizar simples de inducción para encontrar la respuesta. En primer lugar, en $n=1$, la desigualdad se cumple. Ahora supongamos que el anterior para n y probarlo para $n+1$.

Nos dejemos dividir el lado izquierdo de la desigualdad de la $n+1$ por el lado izquierdo de la desigualdad de n, y hacer lo mismo con el lado derecho para$n+1$$n$.

$(2n+1)/(2n+2)$ debe ser menor o igual a $\sqrt{(3n+1)}/\sqrt{(3n+3)}$. Podemos cuadrada en ambos lados.

$(4n^2+4n+1)/(4n^2+8n+4)$ debe ser menor o igual a $(3n+1)/(3n+3)$.

$(4n^2+4n+1)(3n+3)$ debe ser menor o igual a $(4n^2+8n+4)(3n+1)$. Esto puede ser fácilmente verificado por la multiplicación de los polinomios. Por lo tanto, para todos los '$n$', la desigualdad se cumple