Lo siento si esta pregunta se ha hecho antes. No estoy seguro de cómo frase esta pregunta correctamente (por lo tanto no podía encontrar ningún fructíferos resultados en Google).
Sabemos que el siguiente es verdadero para $|x| < 1$,
$$ \frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^\infty x^i = 1 + x + x^2 + \ldots $$
Si sustituimos $x^2$ como la variable en ambos lados de la ecuación, obtenemos:
$$ \frac{1}{1-x^2} = \sum_{i=0}^\infty x^i = 1 + x^2 + x^4 + \ldots $$
que también es cierto.
Sin embargo, si tratamos de la misma con la integración, vamos a obtener un resultado diferente.
El siguiente es verdadero por la ley básica de la integración:
$$ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C $$ donde C es una constante arbitraria.
Si sustituimos $x^2$ como la variable en ambos lados de la ecuación, obtenemos:
$$ \int x^2 dx = \frac{x^4}{2} + C $$
lo cual es claramente incorrecto.
Mi pregunta es, $ x $ está destinado a ser un arbitraria de entrada para una función. Por lo tanto, (creo que) nos podría sustituir a $ x $ con nada y simplemente conecte la nueva variable en el resultado así. Aunque esto es evidentemente falso en el ejemplo de integración, que trabaja para el ejemplo el uso de series geométricas. ¿Por qué esta afirmación verdad a veces y fallar en otras situaciones (como en los 2 ejemplos anteriores)?
