Llame a una permutación $\left(p_1,p_2,\cdots{},p_n\right)$ $\left(1,2,\cdots{},n\right)$ cuadrática si existe un cuadrado perfecto entre $$p_1,p_1+p_2,\cdots{},p_1+p_2+\cdots{}+p_n.$$ Encontrar todos los números naturales $n$ de manera tal que todas las permutaciones de $(1,2,\cdots{},n)$ son cuadráticas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bravo a los comentaristas. Algunas cosas realmente interesantes. Yo sólo intento aquí para consolidar sus pensamientos en una respuesta, porque las ideas que se presentan no son de azar, creativo y algo desorganizada. No es una declaración general de que se puede hacer que subsume el razonamiento en lo que yo creo que es una manera elegante. Consulte el siguiente lema.
Lema: Para cualquier natural $n > 0$, existe una permutación $p_1, p_2, \dots, p_n$ de la primera $n$ números naturales tales que (i) para todos los $k < n$ (aviso de rigor), el plazo $\sum_{i=1}^kp_i$ no es cuadrada, y (ii) si $\sum_{i=1}^np_i$ es de planta cuadrada, a continuación,$p_n = n$.
Prueba: Por inducción sobre $n$. El caso base es trivial, porque no están claramente no positivo números naturales a menos de $1$, y claramente $p_1 = 1$. Para el caso inductivo, puedo pedir prestado en gran medida de un comentario anterior de la OP. Simplemente tomamos la secuencia de $p_1, p2, \dots, p_n$, y considerar dos casos:
Si $\sum_{i=1}^np_i$ es un cuadrado, se $s^2$. Por la parte (ii) de la hipótesis inductiva tenemos que $p_n = n$. Luego para nuestro permutación de tamaño $n+1$, copiamos todos los $p_i$ a partir de la edad de permutación de longitud $n$, y simplemente reemplazar $p_n$ $n+1$ y establezca $p_{n+1}$$n$. Claramente esto nos da la condición (i) para nuestra nueva secuencia, para todas las sumas parciales hasta la longitud de la $n-1$ son las mismas que antes, y la suma de hasta $p_n$$s^2 + 1$, lo cual no es cuadrado. Ahora debemos demostrar que la suma de hasta $p_{n+1}$ no es cuadrada, o de lo contrario nos violan la condición (ii). Bien, esto se deduce del hecho de que no haya dos consecutivos triángulo de números son cuadrados, lo cual es evidente a partir de la recurrencia de la relación dada en el enlace proporcionado en los comentarios: tri-plazas.
Si $\sum_{i=1}^np_i$ no es un cuadrado, entonces lo tenemos fácil. Acaba de tomar la edad de permutación y anexar $p_n = n$. Claramente las condiciones (i) y (ii) son ahora conocido.
Corolario: Este lema inmediatamente nos da que los números cuya permutaciones son todos cuadrática son exactamente de la plaza triangular números, y ningún otro número.
Actualización: La OEIS enlace proporcionado por Robert Israel en su comentario, nos da la siguiente propiedad de la secuencia de cuadrados de números triangulares $a(n)$: "Para todos los $n$, $a(n)$ es el primero de tres triangular números en progresión geométrica. El tercer número de la progresión de la es $a(n+1)$." Esto nos da claramente la propiedad que se necesita en la anterior prueba, que es que no hay consecutivos triangular números que son también cuadrados.
