Resolución de una ecuación de derivadas de método de imagen de cargos

Question

Actualmente, estoy estudiando la electrodinámica donde la ecuación siguiente se levantó:

$0 = \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2 - 2Rd\cos\theta}} + \frac{q_p}{\sqrt{R^2 + d_p^2 - 2Rd_p\cos\theta}}$

donde tengo que resolver para$q_p$$d_p$. La solución que se da es el siguiente (factorizando $R^2$ fuera de la squareroot):

$0 = \frac{q/R}{\sqrt{1 + (d/R)^2 - 2 (d/R)\cos\theta}} + \frac{q_p/d_p}{\sqrt{1 + (R/d_p)^2 - 2(R/d_p)\cos\theta}} $ , lo que nos permite leer las soluciones: $q/R = - q_p/d_p$ y $d/R = R/d_p$ que puede ser resuelto fácilmente por $d_p$$q_p$.

Mi pregunta es la siguiente: ¿por Qué no puedo resolver la ecuación a partir de la primera ecuación? La primera ecuación es cero si elegimos $q_p = -q$$d_p = d$. Que la solución no hacer un montón de sentido físicamente (que básicamente significa poner a cargos con cargas opuestas en la parte superior de uno al otro), pero ¿por qué está mal matemáticamente? O ¿por qué voy a perder soluciones cuando yo lo hago de esa manera?

Espero que alguien pueda ayudar.

Saludos

edit: contexto Físico es la siguiente: tiene un cargo en el $z$-Eje a distancia $d$ a la de origen. Se ha encargado $q$. Alrededor del origen es una realización de la mitad de la esfera de radio $R$. Ya que se está llevando a cabo, su potencial en la superficie tiene que ser cero. Para obtener el campo en el espacio fuera de la esfera podemos utilizar el método de imagen de cargos y colocar una imagen de carga en el interior de la esfera, de tal manera que el potencial en la superficie de la esfera es cero. Esta condición es la que está escrita arriba. La superposición de dos cargas puntuales tiene que ser cero en el $|\vec{x}| = R.$ $q_p$ es el encargado de la imagen de carga, y $d_p$ es su posición en el Eje z.

edición#2: El potencial de un pointcharge en la posición $\vec{r}'$ está dado por: $\phi(\vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$

Answer 1

Creo que el punto principal es que mediante el establecimiento $q_p = -q$ $d = d_p$ sólo encuentra UNA solución, a saber, la solución trivial: corresponde a un total de cero la carga colocada en la distancia $d$, en este caso el potencial es cero, no sólo en la esfera, sino en todas partes. El método de las imágenes muestra que también hay un no trivial solución. Usted podría pensar en el problema al revés también: dadas dos cargas de signo opuesto en el $z$ eje, tumbado en el positivo y negativo de semi-eje, ¿de qué forma lo hace el equipotenciales de la superficie con potencial de $\phi =0$? Usted encontrará que es una esfera de radio $R$ sólo para los que no trivial caso.

Answer 2

Usted puede resolver la primera ecuación.

Cuadrado ambos lados de $$\frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2 - 2Rd\cos\theta}}=-\frac{q_p}{\sqrt{R^2 + d_p^2 - 2Rd_p\cos\theta}}$$ y eliminar los denominadores.
Teniendo en cuenta los dos lados de la ecuación obtenida así como polinomios en $\cos \theta$, igualar los coeficientes de tener el sistema $$\begin {cases} q^2(R^2+d_p^2)=q_p^2(R^2+d^2) \\ \\q^2d_p=q_p^2d \end {cases}$$ Dividing side by side the two equations, you have $$dd_p^2-(R^2+d^2)d_p+R^2d=0$$ which gives $$d_p=d \quad,\quad d_p=\frac {R^2}d$$Si se sustituye en la segunda ecuación del sistema, está listo.