El hallazgo de una relación de $\prod_{i=0}^{n-1}x-i$ basado en la solución de $1/x=x-n$

Question

Deje $\xi_n$ ser la solución positiva de la ecuación $$x=\frac{1}{x}+n\tag{1}\label{1}$$ La secuencia de $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ se define como: $$a_n=\xi_n(\xi_n-1)\cdots(\xi_n-n+1)\tag{2}\label{2}$$ Ahora, dado que (1) implica $\xi_n^2=1+n \xi_n$, es seguro decir que el $a_n$ puede ser en última instancia, se expresa como una función lineal de la $\xi_n$.

En otras palabras, si ampliamos $a_n$ en términos de $\xi_n$, todos los de la $\xi^m,m>1$ términos puede ser eliminado y reemplazado con bajos grados. Y si repetimos este proceso, por fin tendría: $$a_n=b_n\xi_n+c_n$$ El problema es que estoy teniendo problemas en encontrar una fórmula general para $b_n$$c_n$. Traté de ampliar el polinomio (2) y la simplificación de acuerdo a (1), pero se convirtió en demasiado complejo. También traté de calcular el $b_n,c_n$ algunos $n$ con el fin de encontrar un patrón, pero no tuvo suerte. Aquí está el resultado de $n=1,...,10$: $$ \begin{array}{c|lcr} n & \xi_n & b_n & c_n \\ \hline 1 & \frac{\sqrt{5}+1}{2} & 1 & 0 \\ 2 & \sqrt{2}+1 & 1 & 1 \\ 3 & \frac{\sqrt{13}+3}{2} & 3 & 0 \\ 4 & \sqrt{5}+2 & 8 & 4 \\ 5 & \frac{\sqrt{29}+5}{2} & 35 & 0 \\ 6 & \sqrt{10}+3 & 162 & 54 \\ 7 & \frac{\sqrt{53}+7}{2} & 1001 & 0 \\ 8 & \sqrt{17}+4 & 6656 & 1664 \\ 9 & \frac{\sqrt{85}+9}{2} & 53865 & 0 \\ 10 & \sqrt{26}+5 & 467500 & 93500 \\ \end{array}$$ Bueno, al parecer, $c_n=0$ para valores impares de $n$. Pero estoy atrapado aquí por ahora y no se puede ir más allá. Todas las ideas o sugerencias se agradece.

Editar: Se me olvidó mencionar que si $c_n\ne 0$ ($n$ es incluso) a continuación, se asemeja $b_n=\frac{n}{2} c_n$. Aunque no tengo ni idea de por qué?

Answer 1

Observe que si $i+j = n$

$$(x-i)(x-j) = x^2 - xn + ij = 1 + ij$$

Podemos usar esto para derivar una fórmula para $a_n$ mediante la agrupación de los términos $\{1,n-1\}$, $\{2,n-2\}$ y así sucesivamente. Si $n$ es incluso entonces nos encontramos con la

$$\prod_{i=0}^{n-1}(x-i) = x\left(x - \frac{n}{2}\right)\prod_{i=1}^{\frac{n}{2}-1}(x-i)(x-n+i) = \left(\frac{n}{2}x + 1\right)\prod_{i=1}^{\frac{n}{2}-1}(1+i(n-i))$$

Si $n$ es impar, entonces

$$\prod_{i=0}^{n-1}(x-i) = x\prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}(x-i)(x-n+i) = x\prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}(1+i(n-i))$$

Las expresiones de arriba explica las relaciones que se han encontrado; $\frac{b_n}{c_n} = \frac{n}{2}$ incluso $n$ $c_n = 0$ por extraño $n$.

Answer 2

Usted tiene $$ \begin{gathered} \xi _n ^1 = \xi _n ^1 \hfill \\ \xi _n ^2 = 1 + n\,\xi _n = \xi _n ^0 + n\,\xi _n ^1 \hfill \\ \xi _n ^3 = \xi _n ^1 + n\,\xi _n ^2 = \xi _n ^1 + n\,\left( {1 + n\,\xi _n } \right) \hfill \\ \quad \vdots \hfill \\ \xi _n ^q = \xi _n ^{q - 2} + n\,\xi _n ^{q - 1} \quad \;\left| {\;\xi _n ^0 = 1,\xi _n ^1 = \text{sol}(x - 1/x - n)} \right. \hfill \\ \end{reunieron} $$ Resolver esta recurrencia, y tirarlo en $$ a_ {\n} = \xi _n ^{\,\underline {\n\,} } = \sum\limits_{0\, \leqslant \,k\, \leqslant \,n} {\left( { - 1} \right)^{\;n - k} \left[ \begin{gathered} n \hfill \\ k \hfill \\ \end{reunieron} \right]\xi _n ^k } $$