Probar que: $\sqrt{x^2+21}+\sqrt{2y^2+14}+\sqrt{z^2+91}\ge 19$

Question

Deje $x, y, z$ ser un número real tal que $xy+yz+zx=11$. Demostrar la desigualdad:

$$\sqrt{x^2+21}+\sqrt{2y^2+14}+\sqrt{z^2+91}\ge 19$$

Creo que la desigualdad puede ser resuelto por Minkowski. La igualdad ocurre si sólo es $(x;y;z)=(2;1;3)$...Pero no pude seguir...

Answer 1

podemos probar esta desigualdad $x,y,z$ son números positivos.

Por cauchy-Schwarz desigualdad han $$\sqrt{\dfrac{a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}}{n}}\ge\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$$ donde $a_{i}>0,i=1,2\cdots,n$\ entonces $$\sqrt{x^2+21}=5\sqrt{\dfrac{\dfrac{x^2+1}{5}+1+1+1+1}{5}}\ge 5\dfrac{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{5}}}{5}=\sqrt{\dfrac{x^2+1}{5}}+4$$ $$\sqrt{2y^2+14}\ge \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{2\dfrac{y^2+1}{2}+6}{8}}\ge 4\cdot\dfrac{2\sqrt{\dfrac{y^2+1}{2}}+6}{8}$$ $$\sqrt{z^2+91}=10\sqrt{\dfrac{\dfrac{z^2+1}{10}+9}{10}}\ge 10\cdot\dfrac{\sqrt{\dfrac{z^2+1}{10}}+9}{10}$$ entonces $$LHS\ge \sqrt{\dfrac{x^2+1}{5}}+\sqrt{\dfrac{y^2+1}{2}}+\sqrt{\dfrac{z^2+1}{10}}+(4+3+9)\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}{100}}+16$$

desde $$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=(x^2+1)[(y+z)^2+(yz-1)^2]\ge [x(y+z)+(yz-1)]^2=(xy+yz+xz-1)^2\ge 100$$

por este camino: lo único que probar esto $x,y,z$ son números positivos, becase $$x\longrightarrow |x|,y\longrightarrow |y|,z\longrightarrow |z|$$ entonces tenemos $$|xy|+|yz|+|zx|\ge xy+yz+xz\ge 11$$

y me parece mucho a esta desigualdad, que crear? Gracias