El anillo de $\mathrm{End}_D(V) $ es simple, si $V$ es finito dimensionales.

Question

Teorema: Vamos a $V$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre un anillo de división $D$. A continuación, los anillos de $\mathrm{End}_D(V)$ $ M_n(D^{\mathrm{o}})$ son isomorfos.

Nota: Si $D$ es un anillo de división, a continuación, $M_n(D)$ es un simple anillo para cada $n \in\mathbb N$. Podemos inferir que el anillo de $\mathrm{End}_D(V)$ es simple, si $V$ es finito dimensionales.

Del teorema anterior y de la observación podemos inferir que el anillo de $\mathrm{End}_D(V) $ es simple, si $V$ es finito dimensionales.

Es a la inversa realmente cierto?

Podemos probar directamente que $\mathrm{End}_D(V)$ es simple? (por definición)

Answer 1

No. El anillo completo de transformaciones lineales de un infinito dimensional espacio vectorial nunca es simple.

Siempre tiene, al menos, un trivial ideal compone de transformaciones lineales finitos tridimensional de la imagen.