Integral de la $\int_0^\infty \frac{\sqrt{\sqrt{\alpha^2+x^2}-\alpha}\,\exp\big({-\beta\sqrt{\alpha^2+x^2}\big)}}{\sqrt{\alpha^2+x^2}}\sin (\gamma x)\,dx$

Question

Estoy teniendo problemas para mostrar esta igualdad es verdadera$$ \int_0^\infty \frac{\sqrt{\sqrt{\alpha^2+x^2}-\alpha}\,\exp\big({-\beta\sqrt{\alpha^2+x^2}\big)}}{\sqrt{\alpha^2+x^2}}\el pecado (\gamma x)\,dx=\sqrt\frac{\pi}{2}\frac{\gamma \exp\big(-\alpha\sqrt{\gamma^2+\beta^2}\big)}{\sqrt{\beta^2+\gamma^2}\sqrt{\beta+\sqrt{\beta^2+\gamma^2}}}, $$ $$ \mathcal{Re}(\alpha,\beta\gamma> 0). $$ No sé cómo acercarse a él a causa de todas las las funciones de raíz cuadrada.

Parece que si $x=\pm i\alpha \ $ podemos tener algunos problemas de convergencia debido a que el denominador. Tal vez hay formas de solucionar esto usando métodos complejos que implican la rama de corte de la raíz cuadrada de la singularidad. Yo no sé qué elegir $f(z)$ para una adecuada función compleja para representar el integrando.

También traté de diferenciación bajo la integral signos w.r.t $\alpha,\beta,\gamma$ pero no simplificar nada. Gracias. ¿Cómo podemos calcular esta integral?

Answer 1

Reemplazar $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ con $a$, $b$ y $c$ respectivamente.

Con la sustitución de $x=a\sinh t$, la integral se puede escribir como: $$\begin{aligned} I & = \sqrt{2a}\int_0^{\infty} e^{-ab\cosh t}\sin(ac\sinh t)\sinh \left(\frac{t}{2}\right)\,dt \\ &=-\sqrt{2a}\Im\left(\int_0^{\infty} e^{-ab\cosh t}\cos\left(ac\sinh t+\frac{it}{2}\right)\,dt \right) \end{aligned}$$

Gracias a sir O. L. para la evaluación de la final aquí integral: Integral: $\int_0^{\infty} e^{-ab\cosh x}\cos\left(ac\sinh(x)+\frac{ix}{2}\right)\,dx$

El resultado es, por lo tanto, $$\begin{aligned} I & = -\sqrt{2a}\Im\left(e^{-\frac{i}{2}\arctan\frac{c}{b}}\sqrt{\frac{\pi}{2a\sqrt{b^2+c^2}}}e^{-a\sqrt{b^2+c^2}}\right) \\ &=\sqrt{2a}\sqrt{\frac{\pi}{2a\sqrt{b^2+c^2}}}e^{-a\sqrt{b^2+c^2}} \sin\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{c}{b}\right) \\ &=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}}e^{-a\sqrt{b^2+c^2}}\frac{c}{\sqrt{\left(\sqrt{ b^2+c^2}+b \right)\sqrt{b^2+c^2}}} \\ &=\boxed{\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{c\exp\left(-a\sqrt{b^2+c^2}\right)}{\sqrt{b^2+c^2}\sqrt{\sqrt{b^2+c^2}+b}}} \end{aligned}$$ He utilizado el siguiente para simplificar la expresión anterior $$\begin{aligned} \sin\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{c}{b}\right) &=\sqrt{\frac{1-\cos\left(\arctan\frac{c}{b}\right)}{2}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{b^2+c^2}-b}{\sqrt{b^2+c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{c}{\sqrt{\left(\sqrt{ b^2+c^2}+b \right)\sqrt{b^2+c^2}}} \end{aligned}$$

Answer 2

Como Lucian dijo. Tome $\alpha,\beta,\gamma>0$ reales (una vez que haya terminado usted puede extender analíticamente). $$ F(\beta):=\int_0^\infty \frac{\sqrt{\sqrt{\alpha^2+x^2}-\alpha}\,\exp\big({-\beta\sqrt{\alpha^2+x^2}\big)}}{\sqrt{\alpha^2+x^2}}\el pecado (\gamma x)\,dx $$ \begin{eqnarray*} F^\prime(\beta)&=&\int_0^\infty {\sqrt{\sqrt{\alpha^2+x^2}-\alpha}\,\exp\big({-\beta\sqrt{\alpha^2+x^2}\big)}}\sin (\gamma x)\,dx \\ &=& \int_0^\infty \alpha^{3/2}\sqrt{2}\sinh\left(\frac{t}{2}\right)\,\exp\big({-\beta\alpha\cosh(t)\big)}\sin (\gamma\alpha \sinh(t))\cosh(t)\,dt \end{eqnarray*} Ahora usted tiene un buen analítica integrando, puede residuo de la fórmula de la distancia.