Cálculo de probabilidades en carretera

Question

Leí esto Pregunta de la entrevista de Google .

Q :Si la probabilidad de observar un coche en 30 minutos en una autopista es de 0,95, ¿cuál es la probabilidad de observar un coche en 10 minutos (suponiendo constante la probabilidad por defecto)?

A El truco está en que 0,95 es la probabilidad de que haya 1 o más coches, no la probabilidad de que haya un solo coche. La probabilidad de que NO haya coches en 30 minutos es 0,05, así que la probabilidad de que no haya coches en 10 minutos es la raíz cúbica de esa probabilidad, así que la probabilidad de ver un coche en 10 minutos es 1 menos 0,95. que o ~63%.

Mi pregunta es, si La probabilidad de que NO haya coches en 30 minutos es de 0,05 ¿Por qué? la probabilidad de que no haya coches en 10 minutos es la raíz cúbica de eso ??

¿Qué algoritmo se utiliza en esta pregunta?

Answer 1

La suposición no establecida (o, más bien, muy vagamente establecida) en el problema es que las probabilidades de observar un coche durante cualquier intervalo de tiempo no solapado de igual duración son iguales e independientes.

(Por supuesto, esta suposición no puede ser realmente cierta en la práctica, incluso si "observar un coche" se toma como un evento puntual - por ejemplo, si la carretera tiene $n$ carriles y observas un coche diferente dentro de cada uno de $n$ intervalos consecutivos de 1 milisegundo, no vas a observar otro en el siguiente milisegundo - pero puede ser una aproximación bastante buena si los intervalos son de longitud moderada y la carretera no está muy transitada).

Esta suposición (casi; véanse los comentarios) implica que la llegada de coches es (se supone) un proceso de Poisson. Más concretamente, implica que la probabilidad de que no llegue ningún coche en cualquier intervalo de 10 minutos es la misma. Como sabemos que la probabilidad de que no lleguen coches en un intervalo de 30 minutos es igual al producto de las probabilidades de que no lleguen coches en cada uno de los tres intervalos consecutivos de 10 minutos que lo componen, la respuesta es la siguiente.

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En concreto $A$ , $B$ y $C$ denotan los sucesos "no se observan coches en los 10 primeros / segundos / terceros minutos" respectivamente. Entonces tenemos

$$ \mathrm{Pr}[A \text{ and } B \text{ and } C] = \mathrm{Pr}[A] \cdot \mathrm{Pr}[B \text{ if } A] \cdot \mathrm{Pr}[C \text{ if } A \text{ and } B].$$

Desde los acontecimientos $A$ , $B$ y $C$ son independientes por suposición, obtenemos

$$ \mathrm{Pr}[A \text{ and } B \text{ and } C] = \mathrm{Pr}[A] \cdot \mathrm{Pr}[B] \cdot \mathrm{Pr}[C],$$

y, puesto que por suposición $\mathrm{Pr}[A] = \mathrm{Pr}[B] = \mathrm{Pr}[C]$ ,

$$ \mathrm{Pr}[A \text{ and } B \text{ and } C] = \mathrm{Pr}[A]^3.$$

Sabemos que $\mathrm{Pr}[A \text{ and } B \text{ and } C] = 0.05$ y queremos resolver $\mathrm{Pr}[A]$ (que, por suposición, es igual al a priori probabilidad de no observar ningún coche en cualquier dado un intervalo de 10 minutos), así que tomamos la raíz cúbica de ambos lados y obtenemos

$$ \mathrm{Pr}[A] = \sqrt[3]{\mathrm{Pr}[A \text{ and } B \text{ and } C]} = \sqrt[3]{0.05} \approx 0.3684.$$

Réstalo de uno para obtener $\mathrm{Pr}[\text{not } A] \approx 0.6316$ .

Answer 2

La pregunta parece bastante ambigua, pero supongamos que los coches llegan como una tasa de proceso de Poisson $\lambda$ . Si es así, la distribución del tiempo (desde ahora) hasta la primera llegada del coche es exponencial con parámetro $\lambda$ . Por lo tanto, la probabilidad de que no llegue ningún coche es $P(T>t) = exp(-\lambda t)$ . Así

$P(T>10min) = \exp(-\lambda \times 10) = \exp(-\lambda*30/3) = \exp(-\lambda*30))^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{P(T>30min)}$

Alternativamente se podría aproximar mediante un modelo binomial. Supongamos que en 10 minutos la probabilidad de que no llegue ningún coche es $p$ . Entonces en treinta minutos (suponiendo que cada periodo es independiente) la probabilidad de que no pase ningún coche es $p^3$ . De donde, $p=\sqrt[3]{0.05}$ .

Answer 3

Digamos que la probabilidad de que no haya coches en 30 minutos puede descomponerse como (supones probabilidad constante)

P10 = probabilidad de que no haya coches en 10 minutos

P30 = P10 * P10 * P10 = P10^3 = 0,05

Por lo tanto P10 = cuberoot(0.05)

Answer 4

Por curiosidad, he visto otras soluciones y he comprobado que todo el mundo resuelve a través de la probabilidad de no observar un coche en 10 minutos.

Respondamos de forma directa.

Suposición : Considerando que la probabilidad de observar un coche en cualquier intervalo de tiempo no solapado de igual longitud son iguales e independientes. Razón: La pregunta dice claramente "suponiendo una probabilidad de impago constante"

Sea 'p' la probabilidad de observar un coche en cualquier intervalo de 10 minutos.

Ahora generemos la probabilidad de observar un coche en 30 minutos, que será P(30).

Dividamos el intervalo de tiempo de 30 minutos en tres intervalos de 10 minutos como A, B y C.

P(A) = Probability of seeing a car in first 10 minutes
P(B) = Probability of seeing a car in second 10 minutes
P(C) = Probability of seeing a car in third 10 minutes

Como todos son eventos independientes así,

P(A) = P(B) = P(C) = p

Del mismo modo,

P(not A) = Probability of not seeing a car in first 10 minutes
P(not B) = Probability of not seeing a car in second 10 minutes
P(not C) = Probability of not seeing a car in third 10 minutes

Como todos son eventos independientes así,

P(not A) = P(not B) = P(not C) = 1-p

Entonces,

P(30) = P(A) + P(not A)*P(B) + P(not A)*P(not B)*P(C)

Se puede ver de esta manera:

Considere un evento, Estamos lanzando una moneda 3 veces seguidas y queremos encontrar cuál es la Probabilidad de obtener al menos 1 cara.

P(getting at least 1 head) = P(getting head in 1st toss) + P(getting head in 2nd toss given in 1st toss we got tail) + P(getting head in 3rd toss, given in 1st and 2nd toss we got a tail)
P(getting at least 1 head) = 1/2 + 1/2*1/2 + 1/2*1/2*1/2 = 7/8

Del mismo modo,

P(30) = p + (1-p)*p + (1-p)*(1-p)*p
=> 0.95 = p + p - p^2 + p + p^3 - 2p^2
=> 0.95 = p^3 - 3p^2 + 3p
=> 1-0.95 = 1 - p^3 + 3p^2 - 3p
=> 0.05 = (1-p)^3
=> p = 1 - (0.05)^(1/3)
=> p ~= 0.6316

P(probabilidad de observar un coche en 10 minutos) = 0,6316

Answer 5

Suponiendo una distribución de Poisson, sabemos que la función de masa de probabilidad es:

$$\text{P}(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$

La probabilidad de que no pase ningún coche en treinta minutos es $1 - 0.95 = 0.05$ : $$\text{P}(X=0) = 0.05 = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = e^{-\lambda} $$

Podemos resolver para lamda tomando el logaritmo de ambos lados: $$-\text{ln}(0.05) = \lambda $$

$$\lambda = 2.995 \approx 3 $$

(Para responder a la pregunta del OP, de aquí viene la raíz cúbica, porque el $ln$ es la inversa de $e$ y nos da el valor exponencial).

Hay tres coches cada treinta minutos, lo que es $0.1$ cada minuto. Entonces, multiplicamos eso por 10 minutos y obtenemos $\lambda=1$ para unidades de 10 minutos.

A continuación, calculamos la probabilidad de que haya exactamente 0 coches en 10 minutos: $$\text{P}(X=0) = \frac{\lambda^0 e^{-1}}{0!} = 0.368 $$

Entonces, para hallar la probabilidad de al menos una coche, simplemente lo restamos de uno:

$$\text{P}(X>0) = 1 - 0.368 = 0.632$$

Las probabilidades (p) para un número determinado de coches (k) en el intervalo de 10 minutos tienen el siguiente aspecto: