Integral que involucra registro y cos prueba

Question

Demostrar que $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(1+\cos(\alpha)\cos(x))}{\cos(x)}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^2}{4}-\alpha^2\right)$$

Answer 1

Sugerencia

Supongo que el truco está en la diferenciación bajo el signo integral.

$$g(a)=\int\frac{\ln(1+\cos(a)\cos(x))}{\cos(x)}\,dx$$ $$g'(a)=-\int\frac{\sin (a)}{1+\cos (a) \cos (x)}\,dx$$