Norma y Seguimiento Dummit Foote Ejercicio 14.2.17 , 14.2.18

Question

Deje $K/F$ ser un número finito de extensiones (supongo que ha de ser separables) y deje $\alpha \in K$. Deje $L$ ser una extensión de Galois de $F$ contiene K y deje $H \leq Gal(L/F)$ ser el subgrupo correspondiente a K.

Definir la Norma de $\alpha\in K$ $\large \Pi \sigma(\alpha)$ donde el producto se toma sobre todas las incrustaciones de K en una clausura algebraica de F.

Definir la Traza de $\alpha\in K$ $\large \Sigma \sigma(\alpha)$ donde el producto se toma sobre todas las incrustaciones de K en una clausura algebraica de F.

Primera Pregunta es para probar que $\large \Pi \sigma(\alpha) \in F$ $\large \Sigma \sigma(\alpha) \in F$

Lo que supongo es que el $K/F$ tiene que ser galois, me refiero a que si es de galois, sería fácil ver

$\tau(\large \Pi \sigma(\alpha))=\large \Pi \tau\sigma(\alpha)=\large \Pi \sigma(\alpha)$ (fija de $\tau$ si $\sigma$ varía con todos los elementos de galois grupo, $\tau\sigma$ varía a lo largo de todos los elementos del grupo).yo.e., $\large \Pi \sigma(\alpha)$ es fijo por $\tau$.

Esto es válido para todas las $\tau\in Gal(K/F)$ $\large \Pi \sigma(\alpha)$ tiene que ser en $F$ como únicos elementos que se fija por todos los elementos de a $Gal(K/F)$ son elementos de $F$. Por lo tanto, $\large \Pi \sigma(\alpha)$ tiene que ser en $F$.

Por razones similares, se puede ver que $\large \Sigma \sigma(\alpha) \in F$.

Así que, Si es Galois, yo soy capaz de ver, Pero, el resultado es cierto en general.

Yo soy incapaz de convencer a mí mismo que $\large \Pi \sigma(\alpha) \in F$ $\large \Sigma \sigma(\alpha) \in F$ para cualquier Extensión finita $K/F$

Para ser franco, yo no entendía lo que hace "todas las incrustaciones de $K$ en algebraicas cierres de $F$" significa. :(

La segunda Pregunta es para probar $N_{K/F}(ab)=N_{K/F}(a)N_{K/F}(b)$$Tr_{K/F}(ab)=Tr_{K/F}(a)+Tr_{K/F}(b)$. Esto se puede ver fácilmente como $\sigma$ son homomorphisms.

Otra Pregunta es :

Deje $m_{\alpha}(x)=x^d+a_d x^{d-1}+....+a_1 x+a_0\in F[x]$ ser mínimo polinomio para$\alpha\in K$$F$. Deje $n=[K:F]$. Demostrar que $d$ divide $n$, que no se $d$ distintos Galois conjugados de $\alpha$ (qué quiere decir $K/F$ es de Galois??) que son todos repetidos $n$ veces en el producto y la suma de arriba y a la conclusión de que $N_{K/F}(\alpha)=(-1)^na_0^{n/d}$$Tr_{K/F}(\alpha)=-\frac{n}{d}a_{d-1}$.

Para esto, como $\alpha\in K$$n=[K:F]$, la colección de $1,\alpha,\alpha^2,.....,\alpha^{n-1},\alpha^n$ es linealmente dependiente, por lo que, he a $b_0+b_1\alpha+b_2\alpha^2+.....+b_n\alpha^n=0, b_i\in F$.

Por lo tanto, tengo un polinomio $g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+.....+b_n x^n$ que $\alpha$ es una raíz, por minimality de $m_{\alpha}(x)$ vemos que $m_{\alpha}(x)$ divide $g(x)$, $d$ (potencia de x en $m_{\alpha}(x)$) divide $n$ (potencia de x en $g(x)$)

Asumiendo $K/F$ es cíclica, es decir, puedo de alguna forma ver que hay $d$ distintos Galois conjugados de $\alpha$ I puede no ser capaz de explicar claramente ahora, pero estoy bastante seguro de ello).

Pero en general soy incapaz de ver eso.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

En primer lugar, supongamos que el $L/K$ es separable. Revisión algebraica de cierre $\overline{K}$$K$, y deje $M$ ser un Galois de cierre para la $L/K$$\overline{K}$.

EDIT: Si la idea de Galois de cierre no se conoce a usted, a pensar de la siguiente manera. Ya que su extensión es separable, es primitivo, decir $L=K(\alpha)$. Nota entonces que, necesariamente, $K(\alpha')/K$ es divisible por cada raíz $\alpha'$ de la mínima polinomio $m_\alpha$$\alpha$$K$. En la clausura algebraica $\overline{K}$, todas las raíces de $\alpha'$ existen. Entonces, la división de campo de $F$ $m_\alpha$ es sólo $K(\{\alpha':m_\alpha(\alpha')=0\})$. Desde cada una de las $\alpha'$ es separable de la extensión total $F$ es separable. Lo que esto indica es que cada finito separables extensión de $K$ está contenida en un finita de Galois de la extensión de $K$ (de hecho, si se arregla un algebraica de extensión, este es el mínimo de Galois de la extensión que contiene $K$). Así que, cuando digo "tomar un Galois cierre" me acaba de decir "pensar en una extensión de Galois que contiene nuestra extensión". Esta es una técnica común, por ello permite inferir resultados sobre extensiones separables por primera probando para extensiones de Galois, y, a continuación, la deducción por ciertos subextensions.

$\text{ }$ $\text{ }$

Tenga en cuenta que para cualquier incrustación $\tau\in\text{Hom}_K(L,\overline{K})$ uno necesariamente tiene que $\tau(L)\subseteq M$. Por lo tanto, para cada $\sigma\in\text{Gal}(M/K)$ y cada una de las $\tau\in\text{Hom}_K(L,\overline{K})$ que $\sigma\circ\tau\in\text{Hom}_K(L,\overline{K})$. Por otra parte, desde la $\sigma\circ\tau=\sigma\circ\tau'$ implica que el $\tau=\tau'$, se puede ver, en particular, que la asignación de $\tau\mapsto \sigma\circ\tau$ es una inyección de $\text{Hom}_K(L,\overline{K})$ a sí mismo, y así necesariamente un bijection. A partir de esto se puede ver que para cada $\sigma\in\text{Gal}(M/K)$ $x\in L$ uno tiene que

$$\begin{aligned}\sigma\left(\text{Tr}_{L/K}(x)\right) &= \sigma\left(\sum_{\tau\in\text{Hom}_K(L,\overline{K})}\tau(x)\right)\\ &=\sum_{\tau\in\text{Hom}_K(L,\overline{K})}(\sigma\circ\tau)(x)=\\ &=\sum_{\tau\in\text{Hom}_K(L,\overline{K})}\tau(x)\\ &= \text{Tr}_{L/K}(x)\end{aligned}$$

Desde $M/K$ es de Galois, esto implica que $\text{Tr}_{L/K}(x)\in K$.

Hacer algo similar para la norma mapa.

Para tu segunda pregunta. Utilice el hecho de que $F\subseteq F(\alpha)\subseteq K$ y el hecho de que grado es multiplicativo en las torres. Para deducir el otro resultado, considere el polinomio

$$\prod_{\sigma\in\text{Hom}_F(K,\overline{F})}(T-\sigma(\alpha))$$

Convencerse de que para cada uno de los distintos Galois conjugado $\beta$$\alpha$, $\sigma(\alpha)=\beta$ precisión $\frac{n}{d}$ veces. Por lo tanto,

$$\prod_{\sigma\in\text{Hom}_F(K,\overline{F})}(T-\sigma(x))=m_\alpha(T)^{\frac{n}{d}}$$

Comparar el término constante y el coeficiente de $T^{n-1}$ en ambos lados para obtener tanto de sus resultados.