En el documento " Aplicaciones de los cuaterniones al cálculo con rotaciones " de Eugene Salamin, 1979 ( haga clic aquí ), obtienen 126,5 grados como valor medio del ángulo de rotación de una rotación aleatoria (integrando los cuaterniones sobre la 3-esfera).
¿Cómo puedo entender este resultado? Si el ángulo de rotación alrededor de un eje dado puede ser 0..360°, ¿no debería ser la media 180? o 0 si puede ser 180..180°? o 90° si se toman valores absolutos?
En primer lugar, SO(3) tiene por supuesto su única medida probabilística invariante . Por lo tanto, la "rotación aleatoria" es una variable aleatoria bien definida con valores SO(3). Cada rotación (un elemento de SO(3)) tiene un ángulo de rotación definido de forma única de 0 a 180° () debido a la representación del ángulo del eje. (Tenga en cuenta que eje es indefinido para = 0 y tiene dos valores posibles para = 180°, pero no tiene ninguna ambigüedad). Por lo tanto, el "ángulo de una rotación aleatoria" es un ángulo aleatorio bien definido.
¿Por qué su media está más cerca de un extremo (180°) que de otro (0)? En resumen, porque hay muchas rotaciones de 180°, mientras que la rotación por el ángulo cero es única (mapa de identidad).
Nótese que ignoro la cobertura de Spin(3) SO(3) que es importante en el discurso cuaterniónico, pero no cambiará el resultado: La medida de Haar sobre Spin(3) proyectada sobre SO(3) da la misma medida de Haar sobre SO(3), por lo que no hay diferencia si hacemos cálculos sobre S 3 de cuaterniones unitarios (lo mismo que Spin(3)) o directamente en SO(3).
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Creo que los ángulos de los que hablan deben estar en el rango de $0^\circ$ a $180^\circ$ . Si giras un círculo $181^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj, es lo mismo que $179^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj, y creo que este último es el ángulo del que hablan. Pero las rotaciones anteriores son rotaciones en $3$ -El espacio euclidiano es una dimensión, por lo que los signos más o menos no son suficientes para expresar la dirección en la que se ha girado la esfera.
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La frase clave es "Las rotaciones aleatorias deben ser elegidas uniformemente distribuidas sobre la 3-esfera"