¿Por qué $\lvert x^2 \rvert < 16$ implican $\lvert x \rvert < 4$?

Question

Supongamos que tengo algo como $\lvert x^2 \rvert < 16$. Las propiedades de valor absoluto del estado que $\lvert x^2 \rvert = \lvert x \rvert^2$. Mientras que esto tiene sentido, estoy teniendo problemas para entender el lugar hecho básico de que esto implicaría que $\lvert x \rvert < 4$. ¿Esto siga simplemente tomando el principal de la raíz de ambos lados, si eso es aún válido paso? Supongo que no estoy viendo cómo no íbamos a terminar con algo como $\pm \lvert x \rvert < \pm 4$. En otras palabras, qué es lo que nos permite colocar el $\pm$ símbolo?

Mis disculpas si esto es realmente básico. (Creo que la etiqueta que he utilizado aquí es adecuado para este motivo.) Agradecería cualquier ayuda en esto.

Answer 1

El pedido de los axiomas:

• $O1$ (reflexividad): $x \le x$
• $O2$ (anti-simetría): $x \le y$ $y \le x$ implican $x = y$
• $O3$ (transitividad): $x \le y$ $y \le z$ implican $x \le z$
• $O4$ (totalidad): $x \le y$ o $y \le x$
• $O5$ (aditivo de compatibilidad): $a \le b$ implica $a+c \le b+c$
• $O6$ (multiplicativo de compatibilidad): $0 \le a$ $0 \le b$ implican $0 \le ab$

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$1.1$ Lema: $x^2 \ge 0$ todos los $x$.

Prueba: por la totalidad, o bien $x \le 0$ o $x \ge 0$ (o ambos).

Si $x \le 0$, $0 \le -x$ por aditivo de compatibilidad, por lo $0 \le (-x)(-x)$ por multiplicativo de compatibilidad, es decir,$0 \le x^2$.

Si $x \ge 0$, $0 \le (x)(x) = x^2$ también por multiplicativo de compatibilidad.

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$1.2$ Definición: $|x|$ se define como $x$ al $x \ge 0$ $-x$ lo contrario.

Por ejemplo, $|3| = 3$$|-3| = -(-3) = 3$.

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$1.3$ Lema: $|x^2| = x^2$ todos los $x$.

Prueba: $x^2 \ge 0$$1.1$, lo $|x^2| = x^2$, por definición,$1.2$.

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$1.4$ Lema: $x \le 0$ $y \le 0$ implican $0 \le xy$.

Prueba: Por aditivo de compatibilidad, $0 \le -x$$0 \le -y$, así que por multiplicativo de compatibilidad tenemos $0 \le (-x)(-y) = xy$.

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$1.5$ Lema: Si $x \le -4$,$x^2 \ge 16$.

Prueba: Tenemos $x+4 \le 0$ por aditivo de compatibilidad. También, $-4 \le 4$$-4+x \le 4+x$, de donde por transitividad tenemos $-4+x \le 0$, es decir,$x-4 \le 0$.

Entonces, por $1.4$ obtenemos $0 \le (x+4)(x-4)$, es decir,$0 \le x^2-16$, es decir,$x^2 \ge 16$.

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$1.6$ Lema: Si $x \ge 4$,$x^2 \ge 16$.

Prueba: $x-4 \ge 0$ por aditivo de compatibilidad y, a continuación,$-4 \le 4$$x-4 \le x+4$, lo $x+4 \ge x-4 \ge 0$ por transitividad. Entonces, por multiplicativo de compatibilidad tenemos $(x+4)(x-4) \ge 0$, es decir,$x^2-16 \ge 0$, es decir,$x^2 \ge 16$.

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$1.7$ Definición: $a < b$ se define como true si y sólo si $a \le b$$a \ne b$.

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$1.8$ Lema (aditivo de compatibilidad): $a < b$ implica $a+c < b+c$.

Prueba: $a<b$ implica $a \le b$$a \ne b$, de donde $a+c \le b+c$$a+c \ne b+c$, de donde $a+c < b+c$.

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$1.9$ Lema (multiplicativo de compatibilidad): $0 < a$ $0 < b$ implican $0 < ab$.

Prueba: $0<a$ $0<b$ significa que $0\le a$$0\le b$$0\ne a$$0\ne b$, de donde $0 \le ab$$0 \ne ab$, de donde $0 < ab$.

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$1.10$ Lema: Si $-4 < x < 4$,$x^2 < 16$.

Prueba: $-4 < x$ significa que $0 < x+4$ por aditivo de compatibilidad, y $x < 4$ significa que $0 < 4-x$ por aditivo de compatibilidad, de donde por multiplicativo de compatibilidad tenemos $0 < (x+4)(4-x) = 16-x^2$, y aditivos de compatibilidad tenemos $x^2 < 16$.

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$1.11$ Lema: $x \le y$ o $y < x$, y ambos no pueden poseer simultáneamente.

Prueba: si $x=y$ $x \le y$ mantiene, y si $x \ne y$ entonces $x \le y$ mantiene o $y \le x$ es por la totalidad, pero en este último caso se vuelve $y < x$ porque $y \ne x$.

Si ambos mantienen, entonces tenemos $x \le y$$y \le x$, de donde por anti-simetría tenemos $x=y$, contradiciendo el hecho de que $x \ne y$ como se deduce de $y < x$.

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$1.12$ Lema: Si $x^2 < 16$,$-4 < x < 4$.

Prueba: de lo Contrario, si $x \le -4$ o $x \ge 4$, $1.5$ $1.6$ obtenemos $x^2 \ge 16$, contradiciendo $1.11$.

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$1.13$ Lema: para $b > 0$, $|x| < b$ si y sólo si $-b < x < b$.

Prueba: Supongamos $|x| < b$.

De$1.11$, $x \ge 0$ o $x < 0$. Si $x \ge 0$,$|x| = x$, por definición, de absoluto, de modo que $x < b$; $-b < x$ debido a $-b < -x$$-x < x$, que es debido a $0 < x+x$, que es debido a $0<x$$x<x+x$, que es debido a $0<x$. Si $x < 0$,$|x| = -x$, por lo que tenemos $-x < b$, es decir,$-b < x$. También tenemos $x < b$ porque $x < 0$$0 < b$.

Suponga $-b < x < b$.

De$1.11$, $x \ge 0$ o $x < 0$. Si $x \ge 0$,$|x| = x$, lo $|x| < b$ porque $x < b$. Si $x < 0$,$|x| = -x$, lo $|x| < b$ porque $-x < b$ porque $-b < x$.

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$1.14$ Teorema: $|x^2| < 16 \iff |x| < 4$.

De $1.10$ $1.12$ tenemos $x^2 < 16 \iff -4 < x < 4$.

De $1.3$ que puede volver a escribir como $|x^2| < 16 \iff -4 < x < 4$ desde $|x^2| = x^2$.

De $1.13$ tenemos $-4 < x < 4 \iff |x| < 4$, por lo que estamos por hacer.

Answer 2

Si queremos usar la más simple de las herramientas posibles (en lugar de la más simple argumento posible), entonces podemos ir directamente a la definición del valor absoluto: $$ |x^2| = \begin{cases} x^2 & \text{if %#%#%, and} \\ -x^2 & \text{if %#%#%. } \end{casos} $$ Pero $x^2 \ge 0$ para todos los números reales, lo que significa que el segundo caso es irrelevante. Es decir, $x^2 < 0$$ Entonces tenemos $x^2 \ge 0$$ La gráfica de la función $$ |x^2| = x^2. $ una parábola que abre hacia arriba (ver la foto de abajo), lo que significa que es negativo entre sus ceros.

Desde los ceros de $$ |x^2| < 16 \implies x^2 - 16 < 0. $ se dan por $p(x) = x^2 - 16$, se deduce que el $p$ si y sólo si $x = \pm 4$ entre $|x^2| < 16$$x$, exclusivo. Es decir, $-4$$

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Un enfoque alternativo, basado en su intento, se nota que $4$ implica que el $$ |x^2| < 16 \iff -4 < x < 4. $. Se extrae sólo la raíz cuadrada positiva, ya que sabemos que $|x^2| = |x|^2 < 16$ debe ser no negativo. Pero ahora tenemos que aplicar la definición del valor absoluto de nuevo, lo que implica que $$ |x| = \begin{cases} x & \text{if %#%#%, and}\\ -x & \text{if %#%#%.} \\ \end{casos} $$

1. En el primer caso, tenemos que $|x| < 4$, del que se desprende que $|x|$$ Pero entonces, la combinación de las dos desigualdades, tenemos $x\ge 0$.
2. En el segundo caso, tenemos que $x < 0$, del que se desprende que $x \ge 0$$ (tenga en cuenta que multiplicamos cada lado por $$ |x| = x < 4. $, lo que cambia el sentido de la desigualdad). Pero, a continuación,$0 \le x < 4$.

Desde cualquiera de los casos (1) o caso (2) se podría sostener, tomamos la unión de los dos conjuntos representados, lo que implica que $x < 0$$ que es exactamente el resultado que obtuvimos anteriormente.

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Por último, ya que creo que dxiv el enfoque es más intuitivo que él le da crédito para, a ampliar su enfoque. La "dificultad" en este problema es la función valor absoluto, así que vamos a barrer debajo de la alfombra por un minuto y esconderlo en una nueva variable, por lo que no tenemos que pensar acerca de ello: vamos a $$ |x| = -x < 4 \implies x > -4 $, de modo que $-1$$ Esto es posible si y sólo si $-4 < x < 0$ $$ |x^2| < 16 \iff -4 < x < 4, $ tienen signos diferentes. Pero $y = |x|$ es el valor absoluto de a $$ |x|^2 = y^2 < 16 \iff y^2 - 16 < 0 \iff (y-4)(y+4) < 0. $, lo que implica que $y-4$. Por lo tanto $y+4$ debe ser positivo. Por lo tanto, debemos tener $y$$ Pero, a continuación, $x$ (usando el argumento de arriba). Por lo tanto $y > 0$$

Answer 3

En primer lugar usted puede colocar el valor absoluto en $|x^2|$ desde el cuadrado de un número real es siempre positiva o $0$.

En segundo lugar, se debe recordar que la raíz cuadrada es una función creciente en $\mathbf R^+$. Así que a partir de $x^2\le 16$, se deduce que $$\sqrt{x^2\mathstrut}=|x|<\sqrt{16\mathstrut}=4,$$ que a su vez es equivalente a: $$-4<x<4.$$

Answer 4

En realidad, $|x|^2 < 16 \implies ||x|| < 4 \implies |x| < 4$

Answer 5

Hay tres cosas que son vistas.

1) $x^2=|x^2|=|x|^2$.

2) $x^2 \ge 0$. Siempre. $x^2 <0$ no es una opción.

3) $|x|<4$ si y sólo si $-4 <x <4$. $x$ estar a menos de $-4$ o mayor que $4$ es simplemente no es una opción.

así que hay cuatro posibilidades:

a) $x\le -4$. A continuación,$x <0$$|x|=-x>0$$|x|\ge 4$$x^2=|x|^2\ge 16$.

Que no es una opción si $x^2 <16$.

b) $-4 <x<0$. Entonces, como en el anterior, $x <0$$|x|=-x>0$$0 <|x|<4$$x^2=|x|^2 <16$.

Esto es posible.

c) $0\le x <4$. A continuación, $x \le 0$ $x=|x|$ $0 \le x=|x|< 4$ $x^2 <16$

Esto es posible.

d) $x\ge 4$. El$x\ge 0$$|x|=x\ge 4 $. Y $x^2 \ge 16$.

Esta no es una opción si $x^2 <16$.

De las cuatro opciones de $x^2 <16$ sólo es compatible con $-4 <x <4$, lo que significa exactamente $|x|<4$.