Demostrando que $A_2(13,7) = 8$

Question

No es demasiado difícil encontrar un código binario que consta de $8$ palabras, cada una de las $13$ bits de longitud, manteniendo la distancia entre cada par de palabras, al menos,$7$. Sé que no es posible encontrar $9$ palabras con esa propiedad, pero no podía demostrarlo. ¿Alguien puede ayudarme por favor?

Answer 1

Usted puede utilizar el Plotkin obligado.

ii) Si $d$ es impar y $2d+1>n$, luego $$A_2(n,d) \le 2 \left\lfloor \frac{d+1}{2d+1-n} \right\rfloor.$$

$d=7$ es impar y $2d+1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 > 13$, por lo que

$$A_2(13,7) \le 2 \left\lfloor \frac{7+1}{2 \cdot 7 + 1 - 13} \right\rfloor = 8.$$

Usted dijo que usted ya tiene un ejemplo de un código binario de tamaño 8, longitud de 13 años, y una distancia mínima de 7, así que esto demuestra que $A_2(13,7) = 8$.