Es esta propiedad verdadero positivo de las distribuciones?

Question

Deje $T_{1},T_{2},\ldots$ ser positivo distribuciones $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ la satisfacción de $T_{j}\rightarrow T$ en la distribución sentido (por lo $T$ es un aspecto positivo de distribución y $T_{j}\left(\phi\right)\rightarrow T\left(\phi\right);\forall\phi\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)$). Todos sabemos que si $F$ es positiva de distribución, a continuación, $F\left(\phi\right)$ es bien entendido por cualquier $\phi\in C_{0}\left(\Omega\right).$ Mi pregunta es:

Es cierto que $T_{j}\left(\phi\right)\rightarrow T\left(\phi\right);\forall\phi\in C_{0}\left(\Omega\right)?$

(Aquí se $C_{0}\left(\Omega\right):=\left\{ f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\;\textrm{is continuous},suppf\Subset\Omega\right\} $)

Answer 1

Fix $\phi\in C_{0}\left(\Omega\right)$. Desde $\left\{ T_{j}\right\} $ y $T$ son positivas distribuciones, hay positivos medidas de Radón $\left\{ \mu_{j}\right\} $ $\mu$ , de modo que $$ T_{j}\left(\Psi\right)=\intop_{\Omega}\Psi d\mu_{j};T\left(\Psi\right)=\intop_{\Omega}\Psi d\mu;\forall\Psi\C_{0}\left(\Omega\right). $$ Queremos demostrar que $$ \intop_{\Omega}\phi d\mu_{j}\rightarrow\intop_{\Omega}\phi d\mu. $$ Set $K:=supp\left(\phi\right),$ por hipótesis tenemos que $\left\{ \mu_{j}\left(K\right)\right\} $ está delimitada desde $$ \left|\intop_{K}d\mu_{j}-\intop_{K}d\mu\right|\rightarrow0,\;\; j\rightarrow\infty. $$

Ahora podemos completar el problema eligiendo una secuencia $\left\{ \phi_{k}\right\} \subset C_{0}^{\infty},$ s.t. $\phi_{k}\rightrightarrows\phi$ uniformemente en $K,$ y el triángulo la desigualdad $$ \left|\intop_{K}\phi d\mu_{j}-\intop_{K}\phi d\mu\right|\leq\left|\intop_{K}\phi d\mu_{j}-\intop_{K}\phi_{k}d\mu_{j}\right|+\left|\intop_{K}\phi_{k} d\mu_{j}-\intop_{K}\phi_{k}d\mu\right|+\left|\intop_{K}\phi_{k} d\mu\intop_{K}\phi d\mu\right|. $$

Tenga en cuenta que el Radón medida de un conjunto compacto es siempre finito.