Si a y B son disjuntos abrir conjuntos de demostrar que son separados

Question

Me lo acaba de probar esta instrucción como la siguiente. Es esto válido o prueba sólida?

Gracias!

Answer 1

Su idea se ve bien. La prueba de que $\overline A\cap B=\varnothing$ puede ser directa, y por simetría (como usted dice), también conseguimos $A\cap\overline B=\varnothing$.

Tome $b\in B$. Desde $B$ está abierto, hay algunas abrir vecindario $N$$b\in N\subseteq B$. Pero luego de $A\cap B=\varnothing$ obtenemos $N\cap A=\varnothing$; por lo $b\notin\overline A$. (Sí, se puede incluso llevar a $B=N$!)

AGREGAR Recordar que $x\in \overline A$ si y sólo si para cada conjunto abierto $O$ con $x$,$A\cap O\neq \varnothing$.

De hecho, podemos decir más:

Deje $(X,\mathscr T)$ ser un (topológicas, métrica) de espacio. A continuación, las siguientes definiciones de conexión son equivalentes:

$(1)$ Existen dos no vacío discontinuo abrir conjuntos de $A,B$$A\cup B=X$.

$(2)$ Existen dos no vacía de conjuntos cerrados disjuntos $A',B'$$A'\cup B'=X$.

$(3)$ Existen dos no vacío separados conjuntos de $A'',B''$$A''\cup B''=X$.