En Hoffman & Kunze, se menciona varias veces que cualquier matriz con un polinomio mínimo que se divide sobre su campo en factores lineales es similar a una matriz triangular superior. Se da una prueba, pero no da un algoritmo para encontrar tal matriz. De hecho, demuestran que cualquier operador lineal de este tipo puede descomponerse en la suma de un operador lineal nilpotente y un operador lineal diagonalizable que conmutan, y por lo tanto puede triangularse simultáneamente, pero no parecen dar un método directo sobre cómo elegir realmente una base adecuada en la práctica.
Me preguntaba si existe un algoritmo para triangularizar un operador de este tipo que no dependa de la forma canónica de Jordan (ya que la triangularización aparece antes que la forma de Jordan en su libro) o que note alguna elección inteligente de la base.
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La matriz triangular superior es simplemente la representación con respecto a una base de vectores propios generalizados para las raíces (valores propios) que aparecen en el polinomio mínimo (se supone que se divide en factores lineales). Los detalles para extraer los vectores propios generalizados pueden ser algo tediosos, pero son sencillos. Consideremos el caso de un único valor propio, y especialicémoslo en cero para mayor claridad.
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Utiliza la inducción sobre el tamaño de las matrices.