Encontrar el número de 5-miembro de los comités que incluyen al menos dos de los Republicanos

Question

Hay 10 Republicanos, 8 Demócratas y 2 Independientes legisladores elegibles para los miembros del comité.

Cuántas 5-miembro de los comités de existir que incluyen al menos dos de los Republicanos?

Mi Trabajo :

$C(20,5)-(C(10,5)+C(10,4))$

$(\;All\; 5-member\; committees\;)\;-\;(\;committiees\; with \;no\; Republicans\;+\;committees\; with\; one \;Republican \;)$

Explicación: Hay $C(20,5)$ 5-miembro de los comités que se restará de la suma de dos números en orden a lograr la respuesta; C(10,5) es el número de 5-miembro de los comités que no incluyen los Republicanos (sólo he contado los Demócratas y los Independientes ($8+2$), a continuación, encontrar el número de 5-miembro de los comités ) y C(10,4) es el número de 5-miembro de los comités con un Republicano (Como antes he excluido a los Republicanos, pero contaba con 4 miembros de los comités, a continuación, agrega un Republicano a cada subconjunto)

El libro de la Respuesta:

Se acaba de decir $C(10,2)C(18,3)$

Answer 1

Creo que la respuesta es $$\binom{20}5-\binom{10}5-10\binom{10}4=13,152$$

y ese libro, la respuesta es errónea. La idea detrás de el libro de la respuesta parece ser la siguiente:

En primer lugar, elegimos dos Republicanos. Hay $C(10,2)$ maneras de hacerlo. A continuación, elegimos tres del resto de los miembros. Hay $C(18,3)$ maneras de hacerlo. El problema es que entonces estamos doble (o incluso triple, etc) contar muchas opciones posibles. Por ejemplo, vamos a decir que los Republicanos están numerados de$1$$10$, y el resto de$11$$20$. Si optamos por primera $1$ $2$ y, a continuación,$3$, $4$ y $12$ es lo mismo que elegir por primera $3$ $4$ y, a continuación,$1$, $2$ y $12$.

Nota (sólo en caso de que no lo sé): $\binom ab$ es sólo otra manera (y la más habitual, si me preguntan a mí) para escribir $C(a,b)$.

Answer 2

Los republicanos-$10$,los Demócratas-$8$,el legislador Independiente-$2$

Debe haber al menos $2$ de los Republicanos en el $5$ de los miembros del comité.

Así, pueden ser $2$ o $3$ o $4$ o $5$ de los republicanos en el comité, ya que no existen restricciones sobre el número de los Demócratas Y legislador Independiente en el comité, de manera que podemos tratar a estos dos grupos en una sola de $8+2=10$ de los miembros.Llame a este nuevo grupo, el D-IL grupo.

El número de formas de constitución de dicho comité es

[($2$ Republicanos & $3$ D-IL)o ($3$ Republicanos & $2$ D-IL)o ($4$ Republicanos & $1$ D-IL)o ($5$ Republicanos & $0$ D-IL)]

=($2$ A los republicanos)$\cdot$ ($3$ D-IL)+($3$ a los Republicanos)$\cdot$ ($2$ D-IL)+($4$ a los Republicanos)$\cdot$ ($1$ D-IL)+($5$ a los Republicanos)$\cdot$($0$ D-IL)

=${10 \choose 2}\cdot {10 \choose 3}+{10 \choose 3}\cdot {10 \choose 2}+{10 \choose 4}\cdot {10 \choose 1}+{10 \choose 5}\cdot {10 \choose 0}=13152.$