Recientemente he empezado a leer Categorías para el matemático que trabaja y estoy un poco desconcertado sobre la distinción entre $\textbf{Set}$ y $\textbf{Ens}$ . Por un lado, parece que $\textbf{Ens}$ se supone que es una subcategoría completa de $\textbf{Set}$ :
Si $V$ es cualquier conjunto de conjuntos, tomamos $\textbf{Ens}_V$ para ser la categoría con objetos todos los conjuntos $X \in V$ , flechas todo funciones $f : X \to Y$ con la habitual composición de funciones. En $\textbf{Ens}$ nos referimos a cualquiera de estas categorías.
Y por otro lado parece que $\textbf{Ens}$ puede ser mayor que $\textbf{Set}$ :
$D$ deben tener hom-sets pequeños si se quieren definir estos funtores [...]. Para los más grandes $D$ los lemas de Yoneda siguen siendo válidos si $\textbf{Set}$ se sustituye por cualquier categoría $\textbf{Ens}$ [...] siempre y cuando, por supuesto, se trate de $D$ tiene hom-sets que son objetos en $\textbf{Ens}$ .
Sospecho que mi confusión se debe a una mala interpretación de lo que $\textbf{Set}$ es y para qué se utiliza. Mac Lane parece hacer un punto de construcción $\textbf{Set}$ utilizando un conjunto universal fijo $U$ pero ¿hay algún beneficio en hacer esto en lugar de simplemente tomar $\textbf{Set}$ para ser su "metacategoría" de todo ¿conjuntos? De hecho, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, ¿puede existir tal conjunto universal? Mac Lane requiere las siguientes propiedades:
- $x \in u \in U$ implica $x \in U$ ,
- $u \in U$ y $v \in U$ implica $\{ u, v \}$ , $\langle u, v \rangle$ y $u \times v \in U$ .
- $x \in U$ implica $\mathscr{P} x \in U$ y $\bigcup x \in U$ ,
- $\omega \in U$ (aquí $\omega = \{ 0, 1, 2, \ldots \}$ es el conjunto de todos los ordinales finitos),
- si $f : a \to b$ es una función suryectiva con $a \in U$ y $b \subset U$ entonces $b \in U$ .
Por lo que veo, esto es esencialmente un modelo de conjunto interno transitivo, pero ¿no es la existencia de tal cosa indemostrable en ZFC? Todavía no he llegado muy lejos en el libro, pero parece para mí que no hay pérdida en leer "conjunto pequeño" como "cualquier conjunto" y los conjuntos no pequeños como clases propias...
