Cálculo de la confiabilidad de los dígitos de un sistema lineal

Question

Ejemplo: la ecuación lineal de sistema de $Ax=b$ tiene una aproximación a $\bar x$ y la cantidad exacta de $x^* \neq 0$ soluciones. también nos da: $p>3, ||x^* - \bar x || \leq 10^{-20} + |||| ||Un^{-1}|| 10^{-p} ||x^*||$ which $||Un|| ||Un^{-1}||=10^{4}$. The reliable digits of $\bar x$ para soluciones de este sistema de ecuaciones es $0$.

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Pregunta: en este ejemplo se toma a partir de mis notas de Métodos Numéricos Curso. nadie puede describir, que el cálculo de llegar el autor para obtener $0$?

Ninguna de estas dos respuestas es no me ayuda, necesito algunos detalles acerca de los en este ejemplo. cómo llegamos a la conclusión de que este ejemplo funciona?

Answer 1

En el caso de $p=4$ consigue $$\|x-x^*\|\le 10^{-20}+\|x^*\|$$ lo que significa que en el peor de los casos, el error es tan grande como la solución exacta. En los dígitos que significa que cualquier dígito puede ser malo.

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Por ejemplo, si $x^*$ son unidimensionales, con valor de $10$, entonces los posibles valores de $x$ rango de $0$ a $20$, lo que significa que ni siquiera el primer dígito es cierto, incluso con el redondeo. En la de mayores dimensiones de los casos se obtiene una bola alrededor de la solución exacta, así que por ejemplo, $x^*=(10,0)$ permite $x=(5,-5)$ etc.

Answer 2

Dejando de lado el comentario de @Lutzl que $$1\le \|A\|\|A^{-1}\|$$ and hence there must a typo somewhere in the estimation $10^{-4}$, siempre podemos examinar en el siguiente caso.

Deje que la verdadera solución de una ecuación es $x^*=1$. Deje que el error admisible ser $10^{-n}$. Tomamos una solución aproximada $\bar x = 1 - 10^{-2n}$. El error está dentro de los límites aceptables, sin embargo, ningún dígitos de $\bar x$ e de $x^*$ son los mismos.