La justificación para el uso de $\chi^2(1)$ en Wald y la puntuación de la prueba

Question

En un reciente examen, se nos pidió para justificar el uso de la $\chi^2(1)$ distribución en la realización de la Wald o Rao de la puntuación de la prueba. Hubo sólo 1 punto (aprox. 2.5 minutos por un valor de tiempo). Mi respuesta fue

El Wald y la puntuación de la estadística de prueba se basan en diversas aproximaciones a la log-likelihood ratio, los cuales son válidos y equivalente en muestras grandes cuando $H_0$ es cierto. Por ejemplo, la aproximación para el 2º de la estadística de Wald es

$$ 2\log(LR)\simeq (\hat{\theta}_n-\theta_0)^2E\{-\ell''(\theta)\}|_{\theta_0} =(\hat{\theta}_n-\theta_0)^2I(\theta_0) $$

donde $I(\theta_0)$ es el Pescador de la información en $\theta_0$. Luego, utilizando la normalidad asintótica,

$$\hat{\theta}_n\approx N \left ( \theta_0,\frac{1}{ni(\theta_0)}\right )=N \left ( \theta_0,\frac{1}{I(\theta_0)}\right )$$

que los rendimientos de $(\hat{\theta}_n-\theta_0)\sqrt{I(\theta_0)} \approx N(0,1)$

Desde $2\log(LR)$ es aproximadamente igual al cuadrado de la LHS de este al $n$ es grande, se distribuye aproximadamente como el cuadrado de un estándar variable aleatoria normal, que es, como $\chi^2(1)$

El marcador escribió "insuficiente" y tengo cero para este. Como es una recapitulación de examen, no le dará ningún tipo de retroalimentación, ni participar en ninguna discusión al respecto. Me preguntaba si alguien de aquí puede explicar lo que me he perdido o donde me salió mal. Yo no soy muy bueno con látex, así que espero no cometer ningún error en la escritura !

Esto es para un módulo a la elección en la teoría estadística en el último año de una licenciatura en matemáticas grado. Gracias !

Edit: Existe un procedimiento formal para tener mi script comentó, pero por el bien de 1 punto, y ya que he pasado bastante cómodamente, yo realmente no me quiero mover el bote.

Answer 1

Una idea es que usted debería haber mencionado la regularidad de las condiciones de normalidad asintótica de los cálculos y la $\chi^2$ el rendimiento de la prueba de razón de verosimilitud estadístico. Estas condiciones incluyen, informalmente hablando,

1. el verdadero parámetro que está en el interior del espacio de parámetros;
2. la log-verosimilitud realmente ofrezcan expansión en series de Taylor;
3. yo.yo.d. de datos;
4. condiciones para el intercambio de algunos de los instrumentos derivados y las integrales y las expectativas (una especie de uniforme de acotamiento);

y tal. Ver http://www.stat.unc.edu/postscript/rs/ISI89.pdf y http://www.jstor.org/stable/2346086 respecto de la violación de estas condiciones. (El ejemplo más sencillo es el de la estimación cuando la compatibilidad depende del valor del parámetro, por ejemplo, $U[0,\theta]$. El MLE $\hat\theta_n=x_{(n)}$ no es asintóticamente normal, y un estimador que tiene una mayor asintótica de la eficiencia en términos de MSE puede ser construido.) Son dignos de papeles para leer si usted es serio acerca de la teoría estadística, y muchos cursos en asymptotics realmente no divague lo suficientemente lejos en el este del elefante cementerio de ML elegancia.

Otro pensamiento es que puede ser que realmente quería usted hablar de ambos Wald y puntuación de las pruebas. Buse (1982) ofrece una maravillosa revisión de la relación entre las tres pruebas.

Answer 2

Difícil saber lo que está en la cabeza de un maestro ;-)

Las únicas cosas que me vienen a la mente son:

1. La fuente de los resultados que se dice que el MLE son asintóticamente una distribución normal (junto con la comprobación de que las hipótesis se cumplen en este caso).
2. la dependencia de la Información $I$ $n$ que no está claro en sus anotaciones (por ejemplo la escritura de $\frac{1}{I_n(\theta_0)}$ enfatizar que el estimador es consistente.

Answer 3

Se daba por sentado el resultado de que si $X$ se distribuye $N(m,s^2)$ $(X-m)/s$ se distribuye $N(0,1)$. Claramente lo que se necesita para el último paso. También usted no mencionó el resultado de la suma de los cuadrados de $k$ $N(0,1)$ variables es el chi cuadrado de $n$ grados de libertad y, en su caso $n=1$. Es una llamada del juicio si se acepta que obviamente sabía que o a considerar la posibilidad de que formalmente la prueba es incompleta. Hacer que dar crédito parcial? Creo que se demostró que sabía cómo conseguir que la parte más difícil (la normalidad asintótica del estimador de $\theta$ con la correcta de la media y la varianza). Esto puede parecer nit-exigente, pero la cuestión puede haber sido diseñado para que usted pueda demostrar que conocen los hechos.