Ejercicio en compacto $G_\delta$ define

Question

Estoy teniendo problemas para probar un ejercicio en Folland, el libro de análisis real.

Problema: Considere la posibilidad de un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$. Si $K\subset X$ es un compacto $G_\delta$, a continuación, mostrar que existe una $f\in C_c(X, [0,1])$$K=f^{-1}(\{1\})$.

Podemos escribir $K=\cap_1^\infty U_i$, donde el $U_i$ están abiertos.

Mi pensamiento fue el uso de Urysohn del lema a encontrar las funciones de $f_i$ 1$K$ $0$ fuera de $U_i$, pero no veo cómo utilizar para obtener la función deseada. Si tomamos el límite, creo que acaba de obtener la función característica de a $K$.

Me disculpo si esto es algo simple. Ha sido un tiempo desde que he hecho de punto establecido de la topología.

Answer 1

Como te han dicho, podemos utilizar Urysohn del lema compacto conjuntos para la construcción de una secuencia de funciones de $f_i$ tal que $f_i$ es igual a $1$ $K$ $0$ fuera de $U_i$.

Además, $X$ es localmente compacto, entonces existe un abierto de vecindad $U$ $K$ cuyo cierre es compacto. A continuación, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $U_i\subseteq U$

Entonces podemos poner $f=\sum_i2^{-i} f_i$. Claramente, $f^{-1}[\{1\}]=K$. Por otra parte, $f$ es el límite uniforme de funciones continuas (debido a $f_i$ están delimitadas por $1$), por lo que es continua, y que su apoyo es contenida en $U$, lo $f$ es la función que buscamos.