Sea $R$ sea un subring del campo de los números algebraicos. Si $R\cap \mathbb{Q}= \mathbb{Z}$ ¿se deduce que todos los elementos de $R$ ¿son números enteros algebraicos?
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Dietrich Burde
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No, esto no es cierto en general. Por ejemplo $R=\mathbb{Z}[\alpha]$ con un número algebraico $\alpha$ que no es un entero algebraico, y tal que $R\cap \mathbb{Q}=\mathbb{Z}$ por ejemplo, $$ \alpha=\frac{3-\sqrt{2}}{7}. $$ Entonces $R\cap \mathbb{Q}=\mathbb{Z}$ pero no todos los elementos son enteros algebraicos. De hecho, el polinomio mínimo de $\alpha$ viene dado por $f(x)=x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{1}{7}$ que no tiene coeficientes enteros.
monksy
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Sea $\alpha=(3-\sqrt{2})/7$ . He aquí un esquema demostrativo de la afirmación $$\mathbb{Z}[\alpha]\cap \mathbb{Q}= \mathbb{Z},$$ basándose en los hechos de que el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un dominio de factorización único, y $3-\sqrt{2}$ es un elemento primo de este anillo.
Sea $L$ ser un $\mathbb{Z}$ -combinación lineal de potencias de $\alpha$ . Claramente $L$ tiene la forma $\beta/7^k$ con $\beta\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ y $k\ge0$ . Supongamos que $\beta\in \mathbb{Z}$ . Podemos suponer que la fracción $\beta/7^k$ está en los términos más bajos. Entonces $k$ debe ser 0: en caso contrario, el primo $3-\sqrt{2}$ aparece a una potencia negativa en $\beta/7^k$ . Pero $3-\sqrt{2}$ aparece a la potencia 0 en $\alpha$ y, por tanto, a una potencia no negativa en $L$ .
