¿Es el espacio de Banach de funciones continuas$I \to \ell^2$ separable?

Question

Inspirado por esta pregunta.

Considere el espacio vectorial $V$ de todas las funciones continuas $I \to \ell^2$ $I=[0,1]$ la unidad cerrada de intervalo y de $\ell^2$ el espacio de Hilbert de todos los cuadrados summable secuencias. En virtud de la $\sup$ norma $V$ se convierte en un espacio de Banach. Me gustaría saber es $V$ separables.

Supongamos $p_1,p_2,\ldots : I \to \ell^2$ formar una contables subconjunto denso. Creer que la respuesta es no, se podría tratar de una diagonal argumento para construir una $f$ todos $\|f-p_n\|>1$. Una idea es la demanda de $x = 1-1/n$ que $n$-ésima coordenada de $f$ es igual a $p_n(x)+1$. A continuación, tenemos un montón de la libertad de elegir el resto de los valores de $f$. El problema con este enfoque es que tenemos que elegir los valores para el límite de $f(1-1/n) \to f(1)$ y eso es difícil de saber nada acerca de la $p_1,p_2,\ldots $.

Answer 1

Sí, $V$ es separable. Deje $Q$ ser una contables subconjunto denso de $\ell^2$ y deje $D$ el conjunto de funciones de $f:I\to \ell^2$ tal de que no existe $n\in\mathbb{Z}_+$ tal que $f(k/n)\in Q$ $k=0,1,\dots,n$ $f$ interpola linealmente entre estos valores. A continuación, $D$ es contable.

Para demostrar que $D$ es densa, vamos a $f\in V$$\epsilon>0$. Desde $I$ es compacto, $f$ es uniformemente continua, por lo que podemos elegir el $n$ tal que $|s-t|\leq 1/n$ implica $\|f(s)-f(t)\|<\epsilon$ todos los $s,t\in I$. Ahora vamos a $g$ ser tal que $g(k/n)\in Q$ $\|g(k/n)-f(k/n)\|<\epsilon$ $k=0,1,\dots,n$ $g$ interpola linealmente entre. Deje $t\in I$, y deje $k$ ser tal que $t\in [k/n,(k+1)/n]$. Tenga en cuenta que $f(k/n)$ está dentro de $\epsilon$ $f((k+1)/n)$ por nuestra elección de $n$, y por lo $g(k/n)$ está dentro de$3\epsilon$$g((k+1)/n)$. Desde $g$ es lineal de $k/n$$(k+1)/n$, se deduce que el $g(t)$ es también dentro de$3\epsilon$$g(k/n)$, y, por tanto, dentro de$4\epsilon$$f(k/n)$. Finalmente, $f(k/n)$ está dentro de $\epsilon$ $f(t)$ nuevo por nuestra elección de $n$, lo $g(t)$ está dentro de$5\epsilon$$f(t)$.

Desde $t\in I$ fue arbitraria, esto demuestra que $\|f-g\|\leq 5\epsilon$$V$. Desde $g\in D$ $\epsilon>0$ fue arbitraria, esto demuestra que $D$ es denso en $V$.