Cómo encontrar el centro de un círculo desde un punto en él y una línea tangente.

Question

Estoy claramente no escribiendo esto en los motores de búsqueda correctamente, si es posible. El maestro le gusta hacer preguntas con truco, por lo que en realidad podría no ser posible. Yo no puedo ver nada como esto en mis notas, ni nada cuando me de Google.

Cuando me volví en el trabajo, supuse que el punto en el círculo era opuesta a la de la tangente de la línea. Me dijeron que esto no era una suposición válida para hacer. Yo también soy de no obtener ninguna respuesta de él. No puedo pensar en alguna manera de solucionar esto, así que me dirijo a ustedes.

Considere la posibilidad de un círculo de $C$ que es tangente a $3x+4y-12=0$ $(0,3)$ y contiene $(2,-1)$. Establecer las ecuaciones que determinan el centro de la $(h,k)$ y radio de $r$ desde el círculo. NO RESOLVER ESTAS ECUACIONES.

Answer 1

Usted puede encontrar las coordenadas del centro de una intersección de dos líneas. Primero de todo, desde los puntos de $(0,3)$ $(2,-1)$ están en el círculo, el centro es equidistante a ellos. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos puntos es una línea (que se llama mediatriz), así que la primera línea que contiene el centro. Por otro lado, usted también sabe que la línea perpendicular a la recta tangente en $(0,3)$ contiene el centro (básico teorema de geometría del plano). Usted puede encontrar esta línea porque conocen su pendiente y las coordenadas de un punto a través del cual pasa. Finalmente, la intersección de estas dos líneas que le dará las coordenadas del centro, ya que ambos contienen.

Answer 2

El gradiente de la tangente en$(0,3)$ es$-3/4$. Una línea desde el centro del círculo hasta$(0,3)$, por lo tanto, tiene un gradiente$4/3$. Deja que el centro del círculo sea$(h,k)$. Entonces el gradiente de esta línea es$$\frac{k-3}{h}=\frac{4}{3} \iff 3k-9=4h$ $ Ya que$(2,-1)$ se encuentra en el círculo,$$(2-h)^2+(-1-k)^2=r^2.$ $ Ya que$(0,3)$ se encuentra en el círculo,$$h^2+(3-k)^2=r^2.$ $ Usa estos tres ecuaciones para encontrar$k,h,r$.

Answer 3

Empecemos por lo obvio, vamos a suponer que :

$$C : (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$$

donde $(x_0,y_0) = (h,k)$ el centro del círculo.

Desde $(2,-1) \in C$, entonces :

$$(2-x_0)^2 + (-1-y_0)^2 = r^2$$

En el mismo tiempo, desde el punto de que el círculo se reúne la tangente es $(0,3)$, significa que este punto también pertenece al círculo, por lo que :

$$(0-x_0)^2 + (3-y_0)^2 = r^2$$

Teniendo en cuenta la ecuación de la recta tangente, se tiene :

$$3x+ 4y-12 = 0 \Leftrightarrow 4y =-3x + 12 \Leftrightarrow y=-\frac{3}{4}x + 3$$

que nos dice que $λ=-\frac{3}{4}$.

Ahora, teniendo en cuenta una línea recta que pasa por el centro del circulo $(x_0,y_0)$ y a través de $(0,3)$, sería perpendicular a la tangente de la línea (dibujar un boceto para ver que), lo que significa que :

$$λ\cdotλ_1=-1\Rightarrow λ_1 = \frac{4}{3}$$

Así, la pendiente de esta línea debe ser :

$$\frac{y_0-3}{x_0-0}=\frac{4}{3}$$

Ahora, resolviendo el siguiente sistema de rendimiento de su centro y su radio :

$$\begin{cases} (2-x_0)^2 + (-1-y_0)^2 = r^2 \\ (0-x_0)^2 + (3-y_0)^2 = r^2 \\ \frac{y_0-3}{x_0-0}=\frac{4}{3} \end{casos}$$

La punta (1) : Recuerde que en tales problemas siempre es bueno escribir las ecuaciones que saber en relación a la forma geométrica que están estudiando y por lo tanto la formación de los sistemas que le guiará a través de.

La punta (2) : Geometría Analítica es una hermosa lección, pero también requiere que usted sea completo. Nunca tenga miedo de hacer un gráfico, nunca tenga miedo de contener todos los detalles ! (Evitar errores por este camino también !)