Parámetros generales del tensor de energía de tensión en el marco inercial local.

Question

Un general 4x4 simétrica del tensor tiene 10 componentes independientes. Cómo muchos de los componentes somos libres de establecer en el local marco inercial?

Por ejemplo, relativista polvo es $\mbox{diag}(\rho c^2, 0, 0, 0)$ en local marco inercial (por lo que 1 parámetro) que da $$T_{\mu\nu} = \rho v_\mu v_\nu$$ que tiene 4 parámetros (una es $\rho$ y luego a los 3 parámetros en $v_\mu$ debido a la condición de $v_\mu v^\mu = c^2$).

Otro ejemplo es fluido perfecto con $\mbox{diag}(\rho c^2, p, p, p)$ (por lo tanto 2 parámetros) que da $$T_{\mu\nu} = \left(\rho+{p\sobre c^2}\right) v_\mu v_\nu + p g_{\mu\nu}$$ Que tiene 5 parámetros ($\rho$, $p$ y los componentes espaciales $v_i$).

Como tal, a mí me parece que sólo hay 7 parámetros independientes en el local marco inercial, como los otros 3 grados de libertad por la velocidad (que es cero en el sistema inercial). Es eso correcto?

Answer 1

No, ciertamente no es posible escribir cada tensor general en términos de 7 parámetros. Claramente, el espacio de lo posible el estrés de la energía tensores es de 10 dimensiones en $d=4$ (10 parámetros), por lo que no se puede hacer 7 dimensiones (7 parámetros). El especial elecciones del tensor de que usted ha mencionado son isotrópicos, en un marco de tratamiento de la $x,y,z$, en igualdad de condiciones (que son invariantes bajo un $SO(3)$). Pero en general el estrés de la energía tensores no son isotrópicas.

Usted siempre puede diagonalize un tensor simétrico en $d=4$, es decir, sustituir por 4 autovalores que me puede llamar a $\rho, p_{xx}, p_{yy}, p_{zz}$. Sin embargo, los datos necesarios para especificar en que los sistemas de coordenadas del tensor obtiene de la diagonal son equivalentes a un elemento de $SO(3,1)$ – la transformación de Lorentz se necesita para cambiar de una base a la base de vectores propios de la matriz de la que tiene el resto de los 6 parámetros (la dimensión del grupo de Lorentz), así que si usted también quiere recordar la información acerca de la dirección y el hecho de que incluye los componentes de $v^\mu$ muestra que usted no quiere contar, entonces estás de vuelta a 10 parámetros.

Este es, por supuesto, generalizar a $d$ dimensiones. Un tensor simétrico ha $d(d+1)/2$ componentes que pueden ser descompuesto como $d$ autovalores y $d(d-1)/2$ elementos de una matriz antisimétrica cuya exponenciación da el derecho a la rotación o la transformación de Lorentz para que el tensor de diagonalizes.