Suma de fracciones de grupos de personas

Question

Entiendo perfectamente las reglas de la suma de fracciones. Sé encontrar denominadores comunes y entiendo por qué sumar fracciones sin denominadores comunes no tiene sentido.

Pero, hoy alguien me preguntó acerca de la adición de $\frac{5}{6}$ y $\frac{21}{28}$ . Se preguntaban por qué dividir las dos facciones y sacar la media ( $\frac{0.8333 + 0.75}{2} = 0.7917$ ) les daba un valor diferente al de añadiendo y dividiéndolos ( $\frac{5}{6} + \frac{21}{28} = \frac{26}{34} = 0.7647$ ).

Mi reacción inicial fue la misma que la tuya: Me sorprendió que alguien sumara fracciones de esta manera, y le di un repaso rápido de por qué esto no tiene sentido, y cómo sumar fracciones correctamente.

Pensé que les había ayudado a solucionar su problema, hasta que me dieron más contexto: El $\frac{5}{6}$ eran cinco personas de un grupo de seis a las que se observó lavarse las manos después de una determinada actividad. El sitio $\frac{21}{28}$ fueron veintiuna de las veintiocho personas a las que se observó lavándose las manos después de una determinada actividad. El objetivo era hallar el número total de personas que se habían lavado las manos, como fracción del número total de personas observadas. Entonces, $\frac{26}{34}$ es realmente correcto en este caso.

Pero, sigo teniendo problemas para conciliar esto con lo que conozca sobre fracciones. Al menos, lo que yo piense en Lo sé, lo sé. ¿Hay algún término para este tipo de fracciones? Esto no es como tener cinco porciones de una pizza de seis porciones combinadas con veintiuna porciones de una pizza de veintiocho porciones. Es como tener un horno con seis pizzas, cinco de las cuales tienen champiñones, y otro horno (enorme) con veintiocho pizzas, veintiuna de las cuales tienen champiñones. ¿Qué fracción de las pizzas tiene champiñones? ¿Es $\frac{5}{6} + \frac{21}{28}$ ? No lo creo.

¿Se me olvida alguna terminología? ¿Por qué estoy tan confundido?

Answer 1

Esto se denomina mediant de las dos fracciones, basta con sumar el denominador y el numerador por separado.

El otro método, consistente en sumar las dos fracciones y dividir por dos, se denomina media aritmética.

La razón por la que la mediana es apropiada y la media aritmética no lo es es porque quieres encontrar el número total de pizzas con champiñones de ambos conjuntos combinados. Cada una de las fracciones que has mencionado te da la proporción de pizzas con champiñones sólo con respecto a ese conjunto individual de pizzas. Entonces, ¿por qué sumar las dos? darles la misma importancia en el resultado final y dividirlo por dos?

Si los dos subconjuntos de pizzas no tienen el mismo tamaño, se quiere dar al más grande más "peso" en el resultado final, y la mediana lo hace correctamente. Para una visión más general de este tema, fíjate en las medias ponderadas.

Answer 2

Existe algo llamado media ponderada . Una media ponderada de las dos fracciones, con pesos proporcionales a los tamaños de los grupos, da la respuesta correcta.

Los tamaños de los grupos son $6$ y $28$ por lo que los pesos son $\dfrac 6 {6+28} \approx 0.1764706$ y $\dfrac{28}{6+28} \approx 0.8235294$ .

Las dos fracciones son $5/6\approx 0.83333$ y $21/28 = 3/4 = 0.75$ . La media ponderada es \begin{align} (\text{first weight}\times\text{first value}) & {} + (\text{second weight}\times\text{second value}) \\[10pt] = \left( \frac 6 {34} \times \frac 5 6 \right) & {} + \left( \frac{28}{34}\times\frac {21}{28} \right). \end{align} En $6$ s cancelan y el $28$ s cancelar y se obtiene $$ \frac 5 {34} + \frac{21}{34} = \frac{26}{34}. $$