Todos los$a$ que la ecuación tiene al menos una raíz. $a^2+7|x+1|+5 \sqrt{x^2+2x+5}=2a+3|x-4a+1|$

Question

Encontrar todos los $a$ tales que la ecuación tiene al menos una raíz.
$$a^2+7|x+1|+5 \sqrt{x^2+2x+5}=2a+3|x-4a+1|$$ ¿Qué he hecho yo:
la sustitución de $t=x+1$ y algunos reordenamientos $$(a-1)^2-1+7|t|+5\sqrt{t^2+4}-3|t-4a|=0$$ He resuelto un montón de ecuaciones como este, pero ahora no puedo ver fácilmente el camino a través.
Generalmente me di cuenta de algo así como que la raíz cuadrada $\sqrt{m^2+36} \ge 6$. A continuación, normalmente, se abrió el módulo considerando dos casos diferentes,$t>4a$, y otras. Luego encontró ese $7|t|+3t \ge 0$$7|t|-3t \ge 0$ . Me ayudó junto con reordenamientos que hizo la izquierda es mayor o igual a un número, el derecho del menor o igual que el mismo número...
Pero ahora nada de ayuda.
Por favor, mostrar su proceso de pensamiento tan profundo como puedas. Mostrar cómo se llegó a esa forma de solución.

Answer 1

$3|t-4a|-7|t|$ está en su punto más alto en$t=0$.
$(a-1)^2-1+5\sqrt{t^2+4}$ está al menos cuando$t=0$.
Entonces tu expresión es como mínimo cuando$t=0$.
Hay una solución si y solo si el valor en$t=0$ es negativo o cero.