Demuestre que$f$ no debe estar disminuyendo.

Question

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ser una función tal que $f(x+t)\geq f(x)-t^2$ todos los $t>0$. Demostrar que $f$ debe ser no decreciente.

Mi trabajo:

Debe demostrar que $f(x+y)\geq f(x)$ todos los $y>0$. Así que esto es equivalente a mostrar que dado $y>0$ $f(x+y)\geq f(x)-\epsilon$ para todos los $\epsilon>0$.

Ahora, para cualquier $n\in \mathbb{N}$,$f(x+nt)\geq f(x)-nt^2$. Deje $y>0$ ser fijo. Ahora vamos a $\epsilon>0$. A continuación, vamos a $\displaystyle t=\frac{\epsilon}{y}$. Entonces puedo probar el resultado sólo si $\displaystyle \frac{y}{t}$ es un número natural. ¿Qué puedo hacer para demostrar esto si $\displaystyle \frac{y}{t}$ no es un número natural? Puede alguien por favor ayuda?

Answer 1

Has notado correctamente$f(x + nt) \ge f(x) - nt^2$ para cada$n$. Este fue un punto clave.

Ahora, primero intente ver cómo ajustar esto a$x+y$ y haga el delimitación por$\epsilon$ más tarde. No arregles el$t$ de antemano. Puedes definirlo para que encaje bien. Solo establece$t_n= y/n$ para cada$n$. Luego$x+ y= x + nt_n$ para cada$n$.

Luego, aplique esto al límite$f(x+ y)$ desde abajo, y finalmente haga un argumento con$\epsilon$.