¿Cómo determinas si la serie$\sum\limits_{k=1}^\infty \left(1-\frac1k\right)^{k^2}$ converge?

Question

$$\sum_{k=1}^\infty \mathrm{(1-\frac{1}{k})}^{\mathrm{k}^{2}}$ $ Intenté usar la prueba de comparación de límites con $$\sum_{k=1}^\infty \mathrm{(1-\frac{1}{k})}^{\mathrm{k}^{}}$ $, pero esto lleva a un límite de 0, lo que no ayuda. Creo que esto puede implicar un cierto uso de $\mathrm{e}^x$ , pero no sé por dónde empezar. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

La prueba de raíz funciona. Considere $$\lim \sup \sqrt[k]{\left(1 - \frac{1}{k}\right)^{k^2}} = \lim \sup \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k = e^{-1} < 1,$ $ por lo tanto, la serie converge.

Answer 2

$ \begin{array}\\ (1-\frac1{k})^{k^2} &=(\frac{k-1}{k})^{k^2}\\ &=\dfrac1{(\frac{k}{k-1})^{k^2}}\\ &=\dfrac1{(1+\frac{1}{k-1})^{k^2}}\\ &=\dfrac1{((1+\frac{1}{k-1})^{k})^k}\\ &<\dfrac1{(1+\frac{k}{k-1})^k} \qquad\text{by Bernoulli}\\ &=\dfrac1{(\frac{2k-1}{k-1})^k}\\ &<\dfrac1{(\frac{2k-2}{k-1})^k}\\ &=\dfrac1{2^k}\\ \end {array} $

y la suma de esto converge.

Answer 3

INSINUACIÓN:

Tenga en cuenta que $$\left( 1-\frac1k \right)^k\le e^{-1}$ $

Puedes terminar

Answer 4

La prueba de relación también es interesante $$a_k=\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2}\implies \log(a_k)=k ^2 \log\left(1-\frac{1}{k}\right)$ $ $$\log(a_{k+1})-\log(a_k)=(k+1) ^2 \log\left(1-\frac{1}{k+1}\right)-k ^2 \log\left(1-\frac{1}{k}\right)$ $

Desarrolle una serie de Taylor para valores grandes de $k$ para obtener $$\log(a_{k+1})-\log(a_k)=-1+\frac{1}{3 k^2}+O(\left(\frac{1}{k^3}\right)$ $ Continúe con Taylor $$\frac{a_{k+1}}{a_k}=e^{\log(a_{k+1})-\log(a_k)}=\frac 1 e\left(1+\frac{1}{3 k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)\right)\to \frac 1 e$ $