¿Resultados de la mecánica cuántica no relativista que implican resultados de QFT análogos?

Question

Uno particularmente fascinante ejemplo de esto que he encontrado es el siguiente. La función delta de potencial no tiene ningún efecto en nonrelativistic la mecánica cuántica en la dimensión espacial mayor que o igual a 4. Esta fue probada por primera vez aquí: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002212367290033X.

La QFT analógico es el resultado de que la $\phi^4$ teoría es trivial en el espacio-tiempo dimensiones $d>4$. Esto fue demostrado aquí: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.47.1.

La razón de que me llame a este análoga a la nonrelativistic resultado es que si se construye una (nonrelativistic) muchos cuerpo de la mecánica cuántica sistema con una función delta de potencial de interacción, esto le dará un término de interacción equivalente a la $\phi^4$ en el QFT.

Mi pregunta es, ¿es razonable que el nonrelativistic resultado ser, al menos, sugerente de un análogo de QFT resultado?

Ahora, la estabilidad del átomo de hidrógeno en dimensiones mayores que 3, por lo que soy consciente, una pregunta abierta. Supongo que la razón de esta pregunta es que mi querer para la respuesta a la estabilidad del átomo de hidrógeno tiene ningún poder de sugestión para no perturbativa resultados de QED en alto dimensiones espacio-tiempo.

Answer 1

Yo pienso que las dos teorías (no relativista fermiones en 4+1 y un relativista escalar en 3+1) son muy diferentes, aunque los diagramas de Feynmann mirar superficialmente similar (hay una diferencia importante: en el no-relativista de la teoría de los propagadores no son invariantes bajo $p_0\to-p_0$, y los propagadores tener una dirección).

Lo que sucede en $(d=4)+1$ no-relativista, la teoría de campo es que la partícula-partícula bucle diagrama (ver, por ejemplo, equ.(83) de https://arxiv.org/abs/nucl-th/0609075) $$ {\cal A} \sim \left[\Gamma(1-d/2)\right)^{-1} (-p_0+E_p/2)^{1-d/2}. $$ La función Gamma refleja el poder de las divergencias en $d>2$. Dado que la función Gamma tiene polos en $d=2,4,\ldots$ la dispersión de la amplitud de la se desvanece en esos casos. Esto significa que la interacción de la teoría se define en $d=3$ tiene un uper y de menor dimensión crítica de $d=2$ e $d=4$. Esto puede ser usado para configurar y $\epsilon$ de expansión en torno a estos dos casos.

En $\phi^4$ teoría de la función de bucle es logarítmicamente divergentes en $(d=3)+1$ dimensiones, y el bucle de amplitud es proporcional a $\Gamma(3/2-d/2)$ (tenga en cuenta que la función Gamma está en el numerador, no en el denominador). Esto le da a la costumbre logarítmica en ejecución, y un Landó polo. La Landau polo implica que para que una interacción de la teoría de la frecuencia de corte no puede ser llevado a infinito. Esto parece bastante diferente de lo que sucede en la no-relativista de la teoría.

Hay una similitud, sin embargo. Puedo tomar la distancia euclídea $\phi^4$ teoría en $4-\epsilon$ dimensiones y establecer un $\epsilon$ expansión para el estudio de la interacción de la teoría en 3 dimensiones (Wilson-Fisher punto fijo).