Denotando la antiderivada de la velocidad.

Question

Con simples leyes de Newton (y en un contexto específico), me enteré de que la velocidad de la $\vec{v}$ de un objeto es la derivada de la correspondiente vector de posición $\vec{OM}$. Lo que significa que $$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{OM}(t)}{\mathrm{d}t}.$$

Por lo tanto, si sólo tenemos la velocidad de un objeto, tenemos que calcular la primitiva de $\vec{v}$ encontrar el correspondiente $\vec{OM}$ vector.

Pero, ¿cómo puedo escribir con símbolos matemáticos? Muchas personas utilizan la notación de la integral sin ningún tipo de dominio especificado (sólo el $\int{}$ símbolo y creo que no hay ningún dominio especificado porque es una notación?) pero no es exactamente el mismo que el de un primitivo derecho? O puede ser que simplemente no saben la manera correcta de escribir las primitivas.

He oído acerca de la $\sideset{^a_b}{}{\left[\vec{v}\right]}$ la notación, pero no estoy seguro acerca de qué significa y cómo se usa.

Answer 1

La forma de escribirlo es

PS

Esta es la versión integrada de

PS

Answer 2

Deje $\vec{v}$ se te vector de velocidad, y $\vec{r}$ el vector de posición.

En efecto, tienes razón, es cierto que

$$ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$$

Pero, usted debe ser consciente de una cosa: todos los derivados implica cierta pérdida de información, debido a que se pierde la pista de las constantes. Ver:

• La derivada de $x^2$ es $2x$.
• La derivada de $x^2+3$ también $2x$.
• En general $x^2+\mathrm{constant}$ rendimientos $2x$.

Esto es una pérdida de información. Ahora, si usted quiere ir "hacia atrás", tienes muchas posibilidades. SI alguien te dice que "la derivada es $2x$, no hay forma de saber lo que la constante fue. Es por eso que se llama "integral indefinida".

Así, cuando se desea obtener la posición a partir de su derivada (velocidad), usted necesita una cosa más.

Que los datos adicionales se denominan condiciones de Contorno. ESTO significa que usted necesita saber un extra de la ecuación, de modo que usted pueda resolver todas las incógnitas. Esta información adicional es generalmente "en un momento determinado, la posición es ésta". Eso es suficiente para resolver nada.

Dicho esto, tienes dos opciones ahora.

A) LA INTEGRAL DEFINIDA.

Como otros han señalado, si $\vec{v}=d\vec{r}/dt$, luego

$$ \Delta\vec{r}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}\cdot dt $$

lo que significa que

$$ \vec{r}_{t_2}-\vec{r}_{t_1}=\int_{t_1}^{t_2} v\cdot dt $$

Comprobar que, si se desea que la nueva posición, $\vec{r}_{t_2}$, necesitaría $\vec{r}_{t_1}$, la condición de contorno.

Ejemplo: 1D velocidad constante

$r_2-r_1=v\cdot \Delta t$.

Es la costumbre ecuación: $r=r_0+vt$

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B) INTEGRAL INDEFINIDA + condiciones de Contorno

También puede resolver

$$ \vec{r}=\int \vec{v}\cdot dt $$

Para una 1D velocidad constante, usted conseguirá el

$r=v\cdot t + \mathrm{constant}$

Y ahora usted debe utilizar los datos adicionales para completar la información.

Para $t=0$, $r=r_0$.

Entonces, sustituyendo en la ecuación: $r_0=v\cdot0+\mathrm{constant} \ \Rightarrow \mathrm{constant}=r_0$

Para obtener el mismo resultado: $r=r_0+vt$.

Ambos métodos son equivalentes.