¿Cómo explica por qué los argumentos de$\operatorname{Ext}^1(A,B)$ no son "al revés"?

Question

Para los objetos $A$ y $B$ En una categoría abeliana, $\operatorname{Hom}(A,B)$ es el grupo de morfismos $$A \longrightarrow B\,.$$ Now $\ operatorname {Ext} ^ 1 (A, B)$, the derived functor of $\ operatorname {Hom},$ can be thought of as the group of extensions of $A$ by $B$, so short exact sequences (up to equivalence) of the form $$B \hookrightarrow \_\_ \twoheadrightarrow A\,.$$ It looks like $A$ and $B$ have switched places. If we insist that arrows go from left to right, then naïvely thinking about it $\ operatorname {Ext} ^ 1 (A, B)$ should be sequences that start with $A$ on the left and end with $B$ on the right, like with $\ operatorname {Hom}$. Now $A$ and $B$ aren't really backwards, and this makes sense somehow, but I've never thought much of it until seeing fellow students make the naïve mistake I mentioned. How can you briefly explain to someone that this isn't a notational quirk, but, relating $\ operatorname {Ext}$ to $\ operatorname {Hom}$ , ¿esto realmente tiene sentido?

Answer 1

La maquinaria de categorías derivadas hace que esto sea mucho más intuitivo. En particular, un elemento de $\operatorname{Ext}^1(A,B)$ puede ser identificado con una de morfismos $A\to B[1]$ en los derivados de la categoría (donde $A$ e $B$ son consideradas como objetos en la derivada de la categoría tratándolos como los complejos de la cadena concentrado en grado $0$). Tomando la fibra de esta morfismos, obtenemos un objeto de $C$ en los derivados de categoría y una exacta triángulo $$B\to C\to A\to B[1].$$ Looking at the associated long exact sequence of homology objects, since $B$ and $Un$ have homology concentrated in degree $0$, so does $C$, and the long exact sequence on homology just turns into a short exact sequence $$0\to B\to C\to A\to 0$$ where now $C$ represents the $0$th homology of the derived object $C$ we had before. That's an extension of $$ by $B$! Conversely, given such an extension, we can consider $A,B,$ and $C$ as objects in the derived category and get an exact triangle $B\C\a\B[1]$ as above and in particular we get a derived morphism $A\B[1]$, y estas dos construcciones puede ser demostrado ser inversa.

O, sin el idioma de categorías derivadas, debemos pensar en una extensión $$0\to B\to C\to A\to 0$$ as "going from $Un$ to $B$" since when you look at long exact sequences associated to this short exact sequence, the connecting homomorphisms of the long exact sequence go from $$ to $B$ (with a degree shift). Those connecting homomorphisms correspond exactly to the morphism $A\B[1]$ en la derivada de la categoría.

Answer 2

Sólo use la secuencia exacta. $Ext(A,B)$ extiende la secuencia de $0\to Hom(A,B)\to Hom(A,B')\to Hom(A,B'')$ cuando $B\to B'\to B''$ es de corto exacta. Más ampliamente, es el derivado de la functor de $Hom(A,-)$ o de $Hom(-,B)$, y de manera más abstracta es la de homs $A$ a la suspensión de $B$ en los derivados de la categoría. Todos en todos, a menos que la única manera que he visto de $Ext$ es como un conjunto de extensiones, que parece pedagógicamente raro, entonces hay un montón de razones para escribir los argumentos en el orden correcto.