Grupo de homología informática.

Question

Deje $X=\{(z_1,z_2) : z_1 , z_2 \in \mathbb{C}$% #% # $and$% . Calcula el grupo de homología de $z_1 \neq z_2\}$ . $X$

Mi intento: el espacio no es más que $\\$ restando la diagonal. Entonces puede aplicarse algún tipo de teorema de escisión. Pero no tengo ni idea. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Definir $F:X\times I\rightarrow X$, $(x,t)\mapsto F_t(x)$, por

$$F_t(z_1,z_2)=((1-t)z_1,(1-t)z_2-t(z_1-z_2))$$

y comprobar que está bien definido en $X$. Tenga en cuenta que $F_0=id_X$ mientras $F_1(z_1,z_2)=(0,z_2-z_1)$. Por otra parte tenemos que $F_t(0,z_2)=(0,z_2)$, $\forall t\in I$, $\forall z_2\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, lo $F$ es una deformación de retracción en el subespacio $Y:=\{0\}\times \mathbb{C}\setminus\{(0,0)\}$. A su vez $Y$ deformación se retrae sobre el círculo unidad $S^1\subseteq Y$. Voy a dejar de escribir esta abajo.

Por lo tanto $X\simeq S^1$, y esperemos que todos sabemos que la homología de este espacio.