¿Cómo se relaciona la masa en reposo$m_0$ en$E=m_0c^2$ a la masa$m$ en$F=ma$?

Question

Una partícula en reposo tiene una energía dada por $$E=m_0c^2$$ donde $m_0$ se define como su masa de reposo. Por lo demás la masa es esencialmente una medida de una partícula intrínseco de la cantidad de energía potencial.

Cómo es esta masa de reposo $m_0$ en relación con la masa $m$ utilizamos a menudo en ecuaciones como $F=ma$ e $W=mg$ donde $F$ es la fuerza y $W$ es de peso?

No me parecen que deberían ser la misma. Desde $m_0$ es una medida de la intrínseca a la energía potencial de una partícula, mientras que $m$ es una medida de la cantidad de una partícula acelera dado una fuerza de $F$.

Answer 1

Para ser frustrante conciso, son la misma cantidad. De hecho, esa fue toda la genialidad de Einstein para darse cuenta de que la inercia de una partícula (la "medida de la cantidad de una partícula acelera dado una fuerza") es en realidad una medida de su energía. Por lo tanto, el título de su $1905$ papel: "¿la inercia de un cuerpo depende de su energía de contenido?".

Ahora, la zona de juegos para esta historia es un poco confusa debido a uno de los más desafortunados nociones en la historia de la física moderna: la masa relativista. Esta es la razón por la que escribió mal el de Einstein, la masa-energía relación como $E=m_0 c^2$ en lugar de la forma correcta ortografía como $E_0=mc^2$. Pero, volveré a este punto más adelante, por ahora, voy a tratar de eludir este problema. De todos modos, vamos a bucear en.

Así que, en teoría especial de la relatividad, la energía total de una partícula (o, simplemente, la energía de la partícula) y el impulso de una partícula está dada por $$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=mc^2\Big[1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}+\cdot\cdot\cdot\Big]$$$$\vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m\vec{v}\Big[1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}+\cdot\cdot\cdot\Big]$$Here, the $m$ that I have used is the mass of the particle, or, as people liked to call it in the early days of relativity, the rest mass of the particle. Now, the key feature to notice here is that it is the same $m$ in the expression for the energy as it is in the expression for the momentum. Now, when you take the limit in which $\frac{v}{c}$ is small and retain the first non-trivial contribution from $v$, you get the usual Newtonian relations $$E=mc^2+\frac{1}{2}mv^2$$ $$\vec{p}=m\vec{v}$$Now, at this moment, you can easily see that it is the same $m$ in the formula for the Newtonian $\vec{p}$ that would appear in $\vec{F}=m\vec{a}$. Moreover, you also notice that it is the same $m$ in all the four expressions that I have written. In particular, it is the same $m$ in $E=mc^2+\frac{1}{2}mv^2$ (which contains the famous $E_0=mc^2$ where $E_0$ means the energy of the particle when $v=0$, or, in other words, its rest energy). In Newtonian mechanics, we don't carry along the $mc^2$ term in the expression for $E$ because, essentially, we assume that $m$ doesn't change and thus, $\frac{1}{2}mv^2$ alone is a good enough (conserved) quantity which is worthy of being named energy. But, the main point is that it is the same $m$ que dicta la inercia (a través de escribir la fórmula para el impulso) de la partícula que dicta su resto-energía (a través de escribir la fórmula para, así, el resto de energía).

Comentarios Adicionales

Así, con el fin de preservar la relación que el impulso es la masa multiplicada por la velocidad, la gente inventó el término masa relativista $M$ define como $\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ y felizmente escribió $\vec{p}=M\vec{v}$ , mientras que siendo relativistically correcta. Pero, aparte de ser un lingüístico pesadilla donde necesariamente se necesita inventar el término resto de la masa para distinguir la relativistically masa invariante de la made-up relativista de la masa, que también era físicamente problemática esquema que mejor explica por Lev Okun en este artículo. Así que, ahora, sólo tenemos una masa, la masa, o si usted realmente desea, el resto de la masa. Pero, la energía total no es igual a $mc^2$ es sólo el resto de la energía que es igual a $mc^2$. Así, uno sólo debe escribir $E_0=mc^2$. Con lo prohibido relativista de la masa, simplemente puede escribir $E=Mc^2$ donde $E$ tendría el derecho a ser llamado el total de energía y no sólo el resto de la energía, pero, simplemente no vale la pena!

Answer 2

El término "masa de reposo" y su notación, $m_0$ se han extinguido entre los relativistas de 50 años. El estándar de notación moderna es que una partícula tiene una masa de $m$, que es invariante. La cantidad de $m\gamma$, anteriormente conocido como relativista de la masa, puede ser llamado simplemente $m\gamma$, o bien, en unidades de $c=1$, puede ser interpretado como la masa-energía $E=m\gamma c^2$. Esta notación y la terminología que se ha filtrado poco a poco hacia abajo en los libros de texto, pero todavía estamos esperando que suceda con popularizations. Por lo que en la terminología moderna, su pregunta podría ser:

¿Cómo es la masa $m$ expresado en una versión relativista de $F=ma$?

La fuerza es un concepto que rara vez es necesaria en la relatividad. Si queremos hacer uso de él, entonces, por analogía con la mecánica Newtoniana, podemos definir un relativista vector de fuerza $ \textbf{F} = m\textbf{a}, $ donde $\textbf{a}$ es la aceleración de cuatro vectores y $m$ es la masa de una partícula que tiene que la aceleración como consecuencia de la fuerza de $\textbf{F}$. Esto es equivalente a $ \textbf{F} = \frac{ d \textbf{p}}{ d \tau}, $ donde $\textbf{p}$ es la masa de la partícula y $\tau$de su tiempo apropiado. Desde el timelike parte de $\textbf{p}$ es la partícula de la masa-energía, la timelike componente de la fuerza está relacionada con la energía gastada por la fuerza. Estas definiciones sólo trabajo para partículas macizas, ya que para una partícula sin masa no podemos definir $\textbf{a}$ o $\tau$. $\textbf{F}$ ha sido definida en términos de invariantes de Lorentz y de cuatro vectores, y por lo tanto se transforma como un temor de dios cuatro-vector propio.

El problema con todo esto es que el $\textbf{F}$ no es lo que realmente mide cuando medimos una fuerza, excepto si nos toca en un marco de referencia que momentáneamente coincide con el resto marco de la partícula. Como con la velocidad y la aceleración, tenemos un cuatro-vector que ha simple, estándar de propiedades de transformación, pero con diferentes $\textbf{F}_\textbf{o}$, que es lo que en realidad es medido por el observador con cuatro-la velocidad de la $\textbf{o}$. Se define como $ \textbf{F}_\textbf{o} = \frac{ d \textbf{p}}{ d t}, $ con $ d t$ en el denominador en lugar de una $ d \tau$. En otras palabras, mide la tasa de transferencia de momentum según el observador, cuyo tiempo de coordenadas es $t$, no $\tau$ --- a menos que el observador pasa a ser el movimiento a lo largo de la partícula. A diferencia de los tres vectores $\textbf{v}_\textbf{o}$ e $\textbf{a}_\textbf{o}$, cuya timelike componentes son iguales a cero, por definición, de acuerdo a observadores $\textbf{o}$, $\textbf{F}_\textbf{o}$ usualmente tiene un nonvanishing timelike componente, que es la tasa de cambio de la partícula de masa-energía, es decir, el poder. Nos podemos referir a la spacelike parte de $\textbf{F}_\textbf{o}$ como las tres de la fuerza.

Uno puede mostrar que un objeto que se mueve a velocidades relativistas tiene menos inercia en la dirección transversal que en el longitudinal. Un corolario es que los tres-aceleración no necesita ser paralelo a las tres de la fuerza.

Así que en resumen, ---

• En términos de cuatro vectores, la segunda ley de Newton utiliza masa $m$.

• En términos de las tres vectores medidos por un observador, la segunda ley de Newton no puede ser expresado en la de Newton utilizando el formulario de la misa de $m$ o de la masa-energía $m\gamma$.

No hay un tratamiento más detallado de este tema, con ejemplos, en la sección 4.5 de mi online SR libro.

Answer 3

$F=ma$ es una fórmula en la mecánica clásica. $E=m_0c^2$ es una fórmula de la relatividad especial y se utiliza ampliamente en la mecánica cuántica.

En la mecánica clásica la masa es una cantidad conservada, que es como el principio de Arquímedes obras. En la teoría especial de la relatividad $m_0$ es la longitud de la energía de impulso cuatro vectores para cada partícula, y lo que se conserva es el de la energía y el impulso. Un gran número de partículas del sistema se ha aditivo cuatro vectores y un invariante/resto de la masa que será más grande que la suma de la suma de los invariantes/resto de las masas de las partículas constituyentes.

En el límite de c approachng cero las dos definiciones coinciden , es decir, "la conservación de la masa" efectivamente tiene para la suma de invariantes/resto masas.

Así, en unidades de masa es siempre una masa .