¿El electromagnetismo clásico realmente predice la inestabilidad de los átomos?

Question

Voy a tratar de dar un breve resumen de lo que he escrito a continuación. Entiendo que es muy largo y disculpas si estoy perdiendo el tiempo.

He utilizado el Liénard-Wiechert potencial y la fuerza de Lorentz fórmula para derivar las ecuaciones de movimiento de partículas cargadas que no implican la $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$ campos. Yo uso esta en una de dos cuerpos problema de configuración con dos cargos, y quiere ver si las ecuaciones resultantes resultado en la espiral de las órbitas.

Más específicamente, me enchufe en las fórmulas para $\mathbf{E}_2$ e $\mathbf{B}_2$ dado por Liénard-Wiechert en la fuerza de Lorentz fórmula $\mathbf{F}_{12}(\mathbf{r}_1(t), t) = q_1(\mathbf{E}_2(\mathbf{r}_1(t), t) + \mathbf{\dot{r}}_1(t)\times\mathbf{B}_2(\mathbf{r}_1(t), t))$ y el uso de la clásica ecuación de movimiento $m_1\mathbf{\ddot{r}}_1(t) = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{r}_1(t), t)$. La segunda ecuación se obtiene para la partícula 2 usando las expresiones para $\mathbf{E}_1$ e $\mathbf{B}_1$ lugar.

El pleno ecuaciones son complicados, por lo que me tome un límite a medida que la masa del núcleo se extiende hacia el infinito, y, suponiendo que mis cálculos son correctos), puedo obtener una simplificación de la ecuación de movimiento formalmente idéntica a la del movimiento planetario alrededor del sol. Esto predice trayectorias elípticas para la mayoría de las condiciones iniciales.

La preocupación es que el movimiento resultante es estable, y esto parece contradecir lo que la costumbre de cuentas de decir acerca de la clásica del electromagnetismo no explicar atómica de la órbita de la estabilidad.

Si quieres más detalles, puedes también leer lo que escribí a continuación.

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Supongamos por un momento que trabajamos clásico y utilizar el modelo planetario para el átomo (de hidrógeno, por simplicidad), como un núcleo con carga positiva con una carga negativa del electrón en órbita de una manera similar que los planetas orbitan alrededor del Sol.

La historia habitual que, debido a los electrones orbitando alrededor del núcleo, se somete a una aceleración que hará que el electrón que se irradian ondas electromagnéticas. La energía de esta radiación se considera para ser llevado a lo largo del tiempo de los electrones del total de la energía a través de la fórmula de Larmor, y por lo tanto, el modelo predice que un colapso de los electrones de la órbita en un corto período de tiempo debido a que el radio de la órbita debe disminuir para compensar la disminución de la energía de los electrones.

A riesgo de parecer ridículo a más personas de conocimiento, me gustaría desafiar a este supuesto con las siguientes consideraciones (sólo como una manera de aclarar mi propia comprensión del problema). A mí me parece que este problema no está presente sólo porque consideramos que el campo electromagnético para tener una existencia independiente de los cargos de la generación de la misma, y llevando la energía y el impulso de su propio.

Pero parece posible describir los fundamentos de la (clásica) electromagnetismo sin recurrir al concepto de los campos electromagnéticos, por el uso de una combinación de la fuerza de Lorentz de la ley y el Liénard-Wiechert potencial. En particular, uno puede sustituir las expresiones explícitas para la $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$ campos obtenidos a partir de la Liénard-Wiechert fórmulas en la fuerza de Lorentz fórmula para derivar la fuerza entre dos partículas cargadas en movimiento arbitrarias de trayectorias en el espacio. Entonces, uno puede derivar una ecuación clásica de movimiento de las partículas, por medio de la mecánica Newtoniana, o su especial relativista de corrección.

Explícitamente, se obtiene este sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, donde $m_1, m_2, q_1, q_2$ son las masas y las cargas de las dos partículas, $\mathbf{r}_1(t), \mathbf{r}_2(t)$ son los caminos, y otras cantidades se definen en la página de Wikipedia para el Liénard-Wiechert potencial:

$$m_1{\mathbf{\ddot{r}}_1}(t) = {\frac {\mu_0c^2q_1q_2}{4\pi}}\left(1 + \left[\mathbf{\dot{r}}_1(t)\times\left[\frac{\mathbf{n}_2(t_r)}{c}\times\right]\right]\right)$$

$${\left[\frac{\mathbf {n}_2(t_r) -{\boldsymbol {\beta}_2(t_r)}}{\gamma_2 ^{2}(t_r)(1-\mathbf {n}_2(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_2(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_1(t) -\mathbf {r}_2(t_r)|^{2}}+\frac{\mathbf {n}_2(t_r) \times {\big (}(\mathbf {n}_2(t_r) -{\boldsymbol {\beta }_2(t_r)})\times {{\boldsymbol {\dot{\beta} }_2(t_r)}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n}_2(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_2(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_1(t) -\mathbf {r}_2(t_r)|}\right]}$$

$$m_2{\mathbf{\ddot{r}}_2}(t) = {\frac {\mu_0c^2q_1q_2}{4\pi}}\left(1 + \left[\mathbf{\dot{r}}_2(t)\times\left[\frac{\mathbf{n}_1(t_r)}{c}\times\right]\right]\right)$$

$${\left[\frac{\mathbf {n}_1(t_r) -{\boldsymbol {\beta}_1(t_r)}}{\gamma_1 ^{2}(t_r)(1-\mathbf {n}_1(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_1(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_2(t) -\mathbf {r}_1(t_r)|^{2}}+\frac{\mathbf {n}_1(t_r) \times {\big (}(\mathbf {n}_1(t_r) -{\boldsymbol {\beta }_1(t_r)})\times {{\boldsymbol {\dot{\beta} }_1(t_r)}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n}_1(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_1(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_2(t) -\mathbf {r}_1(t_r)|}\right]}$$

donde $\mathbf {n}_2(t_r) = \frac{\mathbf{r}_1(t)-\mathbf{r}_2(t_r)}{|\mathbf{r}_1(t)-\mathbf{r}_2(t_r)|}$, $\boldsymbol {\beta}_2(t_r) = \frac{\mathbf{\dot{r}}_2(t_r)}{c}$ e $\gamma_2(t_r) = \frac{1}{\sqrt{1-|\boldsymbol {\beta}_2(t_r)|^2}}$, y del mismo modo para $\mathbf {n}_1(t_r)$, $\boldsymbol {\beta}_1(t_r)$ e $\gamma_1(t_r)$. El retraso de tiempo está definida implícitamente por la ecuación de $t_r = t - \frac{1}{c}|\mathbf{r}_1(t)-\mathbf{r}_2(t_r)|$. Yo un poco maltratada la notación por "factoring" la cruz términos de productos para evitar la duplicación de las cosas, esperemos que este es lo suficientemente clara.

Esto se puede generalizar a un sistema de $N$ partículas cargadas en una manera similar. No he realizado los cálculos de mí mismo debido a la aparente complejidad de la ecuación resultante del movimiento, pero, en principio, se podría comprobar si las soluciones se corresponden con lo que se prevé con el electrón moviéndose en espiral hacia el núcleo, o si se lleva a algo cerca de las órbitas elípticas.

Mi intuición me dice que no vamos a observar el tipo de espiral hacia abajo predicho por suponiendo que la energía se almacena en los campos eléctricos largo de todo el espacio en esta configuración. En lugar de ello tenemos en cuenta el $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$ campos como abstracciones matemáticas útiles para simplificar la expresión dada anteriormente en más componentes manejables. La interpretación del vector de Poynting sería como la densidad de flujo energético que pudieran existir sólo si existen otros cargos que se obtendría acelerado por los campos. En particular, la estabilidad atómica problema podría requerir cargos adicionales estar presente cerca del átomo de hidrógeno, que obviamente afecta a los electrones de la órbita a través de la fuerza adicional de los términos como un multi-cuerpo problema. En ese escenario, no habría una transferencia de energía entre el electrón y otros cargos cercanos. Pero incluso entonces no es claro que el electrón pierde automáticamente la energía, debido a la cercana partículas en vez de irradiar y a la par con la de los electrones del movimiento.

Podemos simplificar las ecuaciones anteriores suponiendo que la masa de la partícula de 2 a ser muy grande, por lo que sigue siendo eficaz, inmóvil, en algunos marco inercial de referencia, y se encuentra en el origen. Entonces las ecuaciones anteriores simplificar en gran medida y se tiene la siguiente ecuación de movimiento para la partícula 1 (con $\mathbf{r}_2(t) = \mathbf{0}$):

$$m_1{\mathbf{\ddot{r}}_1}(t) = {\frac {\mu_0c^2q_1q_2}{4\pi}}\frac{\mathbf {r}_1(t)}{|\mathbf {r}_1(t)|^{3}}$$

que es simplemente la ecuación de movimiento de una partícula cargada se mueve en un potencial electrostático con la de Coulomb la fuerza. Esta limitación del modelo es formalmente idéntica a la del modelo de un planeta en órbita alrededor de un objeto masivo en virtud de la gravitación Newtoniana, y que claramente tienen órbitas elípticas. Por lo tanto, sería incorrecto afirmar que la clásica del electromagnetismo predice la inestabilidad del átomo (en este caso limitante con la masa del núcleo, por lo menos) si no tomamos en cuenta la energía que supuestamente almacenadas en los campos EM. También se ocupa de distancia con el auto-problema de la energía de una partícula cargada que se han de integrar el "campo eléctrico densidad de energía" sobre todos los espacios da una infinita resultado, que sería simplemente un cálculo sin sentido ya que no hay energía almacenada en un campo).

Espero que lo que he dicho anteriormente, era lo suficientemente claro, y yo sería curioso si las soluciones a las ecuaciones de movimiento que he descrito, se han calculado (o aproximar un poco) para predecir clásica órbitas de los electrones alrededor del núcleo.

Tenga en cuenta también que no estoy cuestionando la validez de la mecánica cuántica y más detallada de las teorías de la materia. Simplemente estoy preguntando si el problema específico de la inestabilidad supuestamente predijo clásica, electromagnetismo sólo surge debido a la supuesta existencia de campos electromagnéticos portadoras de energía, o si un campo libre de formulación de electromagnetismo utilizando las ecuaciones de movimiento de arriba también está sujeto a este problema. Estoy seguro de que hay otros problemas que este modelo no puede resolver, tales como la existencia de discretos atómica espectros de emisión y absorción. Pero la importante observación que quería hacer es que a partir de las clásicas ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz, podemos derivar la Liénard-Wiechert potencial, y a continuación se derivan de la explícita de las ecuaciones de movimiento de arriba, y finalmente olvidarse de la existencia de la $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$ campos. Esto conduce a un modelo clásico de dos cuerpo átomo estable de las órbitas.

Answer 1

El esencial problema conceptual en su tratamiento es el hecho de que usted asume que la radiación de alguna manera deben surgir únicamente de la partícula $A$ que actúa sobre la partícula $B$. Esto no es cierto, la radiación y la radiación de la reacción) proviene de la partícula $B$ que actúa sobre sí mismo! Para entender esto, usted debe considerar la posibilidad de $A$ e $B$ a cuerpos finitos primera. A continuación, la radiación esquemáticamente emerge como:

1. todos los cargos en el cuerpo $B$ "enviar" su propio potencial electromagnético en sus null conos $|\vec{r}-\vec{r}_B|-ct = 0$,

2. cuerpo $A$ la aceleración de cargas dentro del cuerpo $B$,

3. y por último, la aceleración de los cargos dentro de $B$ interactuar con algunos de los potencial electromagnético desde dentro de $B$ (punto 1.)!

(Usted puede cambiar las $B$ e $A$ para obtener la radiación de partículas $A$ ).

Cuando el polvo se asienta, usted puede tomar un límite de los tamaños de los cuerpos va a cero y se obtiene el famoso Abraham-Lorentz-Dirac fuerza que actúa sobre cualquiera de las $A$ o $B$: $$F^{\mathrm{ALD}}_\mu = \frac{\mu_o q^2}{6 \pi m c} \left[\frac{d^2 p_\mu}{d \tau^2}-\frac{p_\mu}{m^2 c^2} \left(\frac{d p_\nu}{d \tau}\frac{d p^\nu}{d \tau}\right) \right]$$

Sin embargo, la obtención de este resultado es notoriamente difícil tanto en lo conceptual y técnicamente. La razón para esto es que al tratar el cuerpo $B$ como un infinitamente pequeño de las partículas, no debe ser capaz de interactuar con los datos en su propia luz-cono, ya que significa que se está moviendo más allá de la velocidad de la luz! Por otro lado, la partícula está en su propia lightcone en $t=0$ e $\vec{r} = \vec{r}_B$, y el potencial y la fuerza de Lorentz que divergen en esa posición exacta!

La única manera de resolver esto de una manera rigurosa es la de asumir que, como ya se ha mencionado anteriormente, para que los cuerpos de las preguntas son de finito extensión espacial y finito densidades de carga. A continuación, tomar el límite del tamaño de ir a cero. Esto fue cuidadosamente remodelada en 2009 por la Gralla, Harte & Wald y recomiendo que el papel para obtener más información. (La razón por la que este tema ha recibido un mayor interés recientemente es el hecho de que las ondas gravitacionales inspirals de pequeña masa estelar objetos astrofísicos en los agujeros negros supermasivos pueden ser tratados exactamente de la aproximación de un "auto-obligado partícula", ver Barack & Pound, el año 2018.)

Usted puede obtener la fórmula de Larmor de una particular aproximación perturbativa de la ALD fuerza llamada orden de reducción. Primero se toma el $\mathrm{d}p^\mu/\mathrm{d}\tau$ de la partícula sin radiación de reacción y la inserta en $F^{\rm ALD}_\mu$. A continuación, la fórmula de Larmor es sólo la velocidad con la que esta fuerza está tomando la energía de la partícula.

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EDIT: UNA más amplia discusión histórica

Jan Lálinský me recordó que existen formulaciones de la electrodinámica clásica que 1) de acuerdo con la mayoría de las predicciones de las ecuaciones de Maxwell en el continuum límite (dada una cierta "absorber universo" postulado), y 2) donde el "punto de partículas" es no el límite de un cuerpo finito y no siente ninguna propia fuerza. Una breve revisión de estos "Schwarzschild-Tetrodo-Fokker (Frenkel)" (STF) de la electrodinámica fue dado por Wheeler Y Feynman en 1949.

Dependiendo de cómo exactamente se implemente el "amortiguador universo", el cuasi-neutral conjunto de partículas muy lejos de tu sistema, el planetario del átomo es también generalmente inestable en STF electrodinámica. Esto es debido a que la energía tiende a ser robados desde el átomo por el conjunto de los lejanos partículas y disipada (aunque posiblemente a un ritmo más lento). Por un lado, este es un buen "Machian" giro en la electrodinámica, desde la noción de campo emergente de la física de partículas y las partículas no se irradian energía si no hubiera otras partículas para pasar la energía a. Por otro lado, el STF electrodinámica tienden a tener curiosidad no-local de propiedades tales como el absorbedor universo "saber" acerca de una acción sobre la partícula en un tiempo infinito antes de que la acción en sí misma se produce! Esto hace que la teoría física no satisfactorio para mí.

Considere el siguiente ejemplo de un púlsar, cuyo pulso detectamos y cuya tasa de rotación se ralentiza como consecuencia de la radiación de la pérdida de energía. En la corriente dominante de la electrodinámica, hablamos de ondas electromagnéticas que viajan por eones a través del espacio de la pulsar como independientes de energía-la realización de las entidades, mientras que el STF teoría desafía esta imagen. Mientras que en la corriente principal de la electrodinámica la ola se llevó la energía lejos del púlsar y la hizo ralentizar su velocidad de rotación, en el STF teoría de la pulsar se ralentiza (o no) gracias al hecho de que se "sabe" que la energía-recepción de objetos tales como su antena va a estar allí en un millar de años!!!

En última instancia, tanto la costumbre de partículas+campo y STF teorías están equivocadas, y la correcta teoría de la electrodinámica de los puntos fundamentales de las partículas es la electrodinámica cuántica (y más aún en última instancia, el modelo Estándar), así que esto es más de una discusión académica. Sin embargo, creo que el STF imagen extremadamente undidactic en comparación a la comprensión de la electrodinámica clásica como la teoría del campo electromagnético de origen por finito continuos, que a veces nos limitan hacia aproximado punto de partículas.

Answer 2

Juan Lighton Synge tenía idea similar y se analiza numéricamente las ecuaciones de los movimientos para dos cargas de las partículas cargadas arbitraria de masas donde sólo retardado EM fuerzas están presentes.

J. L. Synge, En la electromagnético de dos cuerpos problema., Proc. Roy. Soc. Un 177 118-39

https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspa.1940.0114

Él encontró que el sistema se derrumba, pero la mayor es la diferencia en las masas, la más lentamente que lo hace. Para el átomo de hidrógeno, el tiempo de colapso resultó ser cientos de veces más que el tiempo, ingenuamente, obtenidos a partir de la fórmula de Larmor.

El colapso se debe a una simple pero tal vez demasiado simple suposición: que la fuerza que actúa sobre cualquier partícula es sólo retardado EM vigor debido a las otras partículas. Luego, porque el movimiento de las partículas es anticorrelated (cuando uno se mueve a la izquierda, la otra se mueve a la derecha), el sistema irradia energía EM de distancia.

Si se introducen en el modelo de fondo la radiación electromagnética que actúa sobre ambas partículas (fuerzas adicionales), colapso deja de ser inevitable, porque la radiación de la energía puede ser suministrada por la radiación de fondo de fuerzas. Hay algunos documentos en los que - para más información sobre esto, véase también mi respuesta aquí:

La electrodinámica clásica átomo

Answer 3

Este tema ha sido durante mucho tiempo un interés mío y de lo que puedo encontrar, me parece que la teoría electromagnética directa de la interacción de partículas no está bien desarrollado lo suficiente como para responder a su pregunta. La razón es que las ecuaciones que estás trabajando no son cualquier tipo de Odas, que se demora ecuaciones diferenciales. Hasta donde yo sé, no existe una solución general, de 2 de partículas interactuando directamente en este modo para 2 dimensiones o más. Creo que en 1 dimensión el problema sólo tiene una solución global si las cargas tienen el mismo signo (aunque puedo estar equivocado y el atractivo caso, podría ser resuelto).

Hay un grupo que he encontrado abordar esta cuestión de una manera interesante. Ellos trabajan con un formalismo donde ellos asumen directa de la interacción de partículas a lo largo del cono de luz Y las ecuaciones de Maxwell para el campo (en el que los campos son los únicos prescrito por las partículas' trayectorias y no independiente, dinámico grados de libertad). Tienen algunos resultados que muestran que algunas de las soluciones de este sistema son también soluciones para la directa interacción de partículas del sistema. Su enfoque es muy matemático, pero voy a ofrecer enlaces a su trabajo aquí por su interés, aunque no estoy calificado para corregir su enfoque: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/49/44/445202/pdf https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03605302.2013.814142 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039616000243 https://arxiv.org/abs/1603.05115

A partir de mi lectura de las cosas: Si usted se considera un universo de sólo dos partículas, sus órbitas, sería completamente estable. Cualquier inestabilidad proviene de la interacción de los dos sistema de partículas con un baño más grande de muchas, muchas partículas. Este fenómeno puede ser capturado por la Dirac-Abraham-fuerza de Lorentz, que surge de estos complicado por muchas partículas interacciones. En la teoría estándar, este puede ser agregado como una especie de factor de elusión a las ecuaciones de Maxwell, sino en hacerlo de una tonelada de complicaciones se presentó y matemáticamente la resultante de las ecuaciones diferenciales ordinarias no pueden ser bien planteado. Sin embargo, el estándar de Maxwell-Lorentz teoría que forma la base de la cuantificación que se traduce en QED, pero uno puede cuantizar directa de partículas teorías lugar. El resultado es una diferente teoría del campo cuántico del campo electromagnético, con sus pros y sus contras (las desventajas superan a las ventajas creo que o bien sería el enfoque estándar).

Answer 4

Estoy de acuerdo con Nula respuesta, pero voy a ofrecer otro lado: al sacar la masa de una partícula a ser mucho más grande que el otro, has terminado con una de las encargadas de realizar todo el radiante bajo la influencia de la estática de Coulomb campo del otro: el modelo de un electrón orbitando alrededor de un núcleo tiene la misma ecuación de movimiento como un pequeño cuerpo que gira alrededor de un mucho cuerpo grande en una de Newton de gravitación del sistema. El modelo no predecir la espiral en el núcleo debido a que usted ha utilizado el estándar de la fuerza de Lorentz sin la radiación de amortiguación plazo. Es matemáticamente correcto, pero no se cumple la conservación de la energía y el impulso de todo el sistema cuando la radiación es significativo.

Dirac$^1$ abordado este problema mediante la derivación de una ecuación de movimiento para un mueven arbitrariamente cargo mediante el uso de los locales de conservación de la energía y el impulso para un tubo que rodea el cargo:

$$1/2q^2\epsilon^{-1}\dot{v}_{\mu} - qv_{\nu}f^{\nu}_{\mu} = \dot{B}_{\mu}$$

Donde $q$ es el costo, $\epsilon$ el radio del tubo, $v$ los cuatro: velocidad, $f$ el ámbito delimitado para el cargo, $B$ indeterminado de cuatro vectores.

Para obtener más, que él tenía que hacer más suposiciones sobre cómo simple de la ecuación era probable, y agregar una negativa de masa para compensar el Coulomb electromagnética masa contribución $\rightarrow \infty$ como $\epsilon \rightarrow 0$, obteniendo:

$$m\dot{v}_{\mu} - 2/3q^2\ddot{v}_{\mu} - 2/3q^2\dot{v}^2 {v}_{\mu} = ev_{\nu}F^{\nu}_{\mu\;\text{in}}$$

Dirac de la derivación tiene la ventaja de hacer caso omiso de la estructura de la carga y el de Poincaré destaca la celebración de juntas; a diferencia de los modelos anteriores creado por Lorentz, Abraham y Schott. Sin embargo, tiene problemas con la pre-aceleración y la causalidad que conduce a ser modificado por el de Landau-Lifshitz ecuación.

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[1] Dirac, P. A. M. Proc. R. Soc. Londres, 167, 148 (1938).

Answer 5

El pleno ecuaciones son complicados, por lo que me tome un límite a medida que la masa del núcleo se extiende hacia el infinito, y, suponiendo que mis cálculos son correctos), puedo obtener una simplificación de la ecuación de movimiento formalmente idéntica a la del movimiento planetario alrededor del sol. Esto predice trayectorias elípticas para la mayoría de las condiciones iniciales.

A partir de un comentario de la OP:

La pregunta es si este modelo clásico predice la inestabilidad del átomo y si es realmente una consecuencia de la clásica del electromagnetismo

El siguiente se analiza la estabilidad de la parte:

La pregunta básica es si las soluciones que encuentra son estables, o metaestable, es decir, una pequeña perturbación, como la radiación en el campo del otro, o atómica vibraciones, enviará el electrón hacia el núcleo.

(Recuerdo que estados metaestables pueden existir en las soluciones clásicas, pero no puede encontrar la referencia)

De refilón a través de su derivación , no puedo entender lo que usted hace con la radiación, es decir, cómo podría perturbar su solución, a ver si es estable o metaestable. La radiación es un hecho experimental. Un cargo que irradia energía en el espectro electromagnético cuando se acelera en un campo . Este es un hecho experimental. Donde es la radiación en sus fórmulas?

Bohr hizo obtener planetaria soluciones, pero necesario para imponer la cuantización del momento angular para tener estabilidad. ( la radiación podría llevar de una unidad de momento angular)

Sospecho que este es el caso con sus soluciones, que son metaestables, que no tiene en cuenta la radiación.