¿Cuándo es negativo el valor del intervalo de espacio-tiempo$ds$?

Question

El intervalo de espacio-tiempo de la relatividad especial, $ds$, se define como $$ ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 $$ con la $(+,-,-,-)$ Minkowski convención de signos. El valor de $ds^2$ puede ser positivo, cero o negativo dependiendo de si el desplazamiento es timelike, null/lightlike, o spacelike, respectivamente. Sin embargo, ahora estoy preguntando sobre el valor de $ds$ sí, sin la escuadra. Cuando se $ds$ mayor que cero, y cuando es negativo? Tengo ya saben la fórmula $ds=\pm \sqrt{(ds)^2}$. Pero no sé si debo poner $+$ o $-$ antes de la raíz cuadrada. No creo que + y - se puede ACEPTAR de forma simultánea para UNA partícula.

Esto es importante porque si dejamos que el buen tiempo se $\tau$, luego de la invariancia del intervalo, $$ ds^2=c^2d\tau^2. $$ Pero no puedo decir si $ds=cd\tau$ o $ds=-cd\tau$. Así que creo que es necesario saber el signo de $ds$.

Answer 1

En esta respuesta, estoy usando el $+---$ firma.

La mayoría de los spacetimes nos ocupamos en GR como sea posible de los modelos realistas para nuestro universo tiene ciertas propiedades especiales. Una de estas propiedades es que el espacio-tiempo es el tiempo-orientable. El tiempo-orientability significa que: --

1. Es posible definir una flecha del tiempo en cada punto del espacio-tiempo, es decir, en cada punto tenemos una definición de qué cono de luz es el cono de luz futuro y que es el pasado cono de luz.

2. Esta definición no cambia nunca de forma discontinua, de punto a punto.

Esto es muy similar a la noción de orientability en la geometría con una firma de Riemann.

Cuando un espacio-tiempo es orientable, entonces la elección de una orientación nos permite definir $ds>0$ para infinitesimal, el espacio-tiempo de desplazamiento de vectores que se encuentran en el futuro cono de luz, y $ds<0$ de aquellos que se encuentran en el pasado (en $+---$ firma).

En $-+++$ firma, tenemos ideas similares, pero $ds$ no es el mismo como el momento adecuado $d\tau$.

Answer 2

$ds^2$ es en realidad una abreviatura de $d\vec s\cdot d\vec s$, que es la abreviatura de $g_{ab}ds^a ds^b$.

Por lo tanto, la cantidad real a tener en cuenta no es un escalar, pero el desplazamientode vectores $d\vec s$.
Y los vectores no están "firmados" (como los escalares son) y no puede ser ordenado (como escalares).
Es el vector de la $(3\hat x - 4\hat y)$ positivo o negativo o cero? Ni una cosa ni otra.
Es el vector de la $(3\hat x - 4\hat y)$ mayor que, menor que, o igual a $(4\hat x - 3\hat y)$ ? Ni una cosa ni otra.
(Cuando uno utiliza $-\vec v$, significa que el vector que añadir a $\vec v$ conseguir $\vec 0$.)

Lo que puede ser firmado?

• La magnitud $\|d\vec s\|=\sqrt{d\vec s\cdot d\vec s}$ es un escalar no negativo, el cual es firmado (aquí, cero o positivo). [En algunos tratamientos en la relatividad, podría ser puro imaginario.]
  
• Un componente a lo largo de una dirección (por ejemplo, $ds_x=d\vec s\cdot \hat x$) es un escalar, el cual es firmado.

Así, lo que yo estoy diciendo es que el "$ds=\pm \sqrt{(ds)^2}$" en realidad no tiene sentido (o es ambiguo)... a menos que usted está preguntando acerca de uno de los de arriba y tal vez debería haber mejor notación.

La cuestión es realmente acerca de la geometría en general, no específica a la relatividad.

Supongamos que estamos tratando con el espacio Euclidiano.
Dado que sólo "$ds^2=1$" ( $d\vec s\cdot d\vec s=1$), a continuación, $d\vec s$ es un vector unitario.
Si usted también sabe que $d\vec s$ tiene sólo un $x$-componente, entonces cualquiera de las $d\vec s= \hat x$ o $d\vec s = -\hat x$.
Si $ds_x\equiv d\vec s\cdot \hat x \ >0$, a continuación, $d\vec s= \hat x$, de lo contrario, desde entonces, $ds_x<0$, a continuación, $d\vec s= -\hat x$.

Específico para su problema de la relatividad de einstein,
la pregunta real es, por tanto,
Dado $d\vec s\cdot d\vec s=c^2 d\tau^2$, es el espacio-tiempo-vector de desplazamiento $d\vec s=c d\tau \ \hat \tau$ o $d\vec s=-c d\tau \ \hat \tau$?
Como un problema puramente matemático, usted necesita más información. Ambos son aceptables "soluciones".
La invocación de la física de la entrada masiva de las partículas tienen futuro-timelike de 4 velocidades (punto de que en el futuro-lightcone) [es $ds_{\tau}>0$ con las habituales convenciones], entonces se puede concluir $d\vec s=c d\tau \ \hat \tau$.

Answer 3

OP escribió (v3):

El valor de $ds^2$ puede ser positivo, cero o negativo dependiendo de si el desplazamiento es timelike, null/lightlike, o spacelike, respectivamente.

Así, se sigue tomando la raíz cuadrada de que $ds=\pm \sqrt{(ds)^2}$ es real, cero, o imaginario, respectivamente. Si el uso de la $+$ o $-$ rama de la raíz cuadrada depende del contexto/detalles/convenios de la física.

Answer 4

Tu pregunta es una cuestión de geometría general: Si usted tiene un cuadrado (habitación) de 49 m2, ¿cuál es el valor de la longitud del lado del cuadrado? La respuesta (y esta es la respuesta a tu pregunta): en general, el valor de una longitud que es positivo y los intervalos especificados en el de valores positivos. Sin embargo, para fines especiales, también podemos imaginar a trabajar con el positivo y el negativo de longitud. Pero mientras no hay ninguna negativa intervalos definidos, y en caso de duda, el valor es positivo. Por el camino, el resultado es igualmente positiva para el espacio-tiempo de los intervalos en el futuro lightcone y dentro de los últimos lightcone, no hay ninguna diferencia.