Muestre que$\inf \{ \| f-P \|_{\infty}\mid P \in P_n \} \geq \delta_n$ para cualquier secuencia decreciente$\delta_n \to 0$

Question

Estoy tratando de demostrar que, dado cualquier disminución de la secuencia $\delta_n \to 0$, podemos encontrar una función continua $f: [-1,1] \to \mathbb{R}$ tal que $$\inf\{\|f-P \|_{\infty}\mid P \text{ a polynomial of degree at most } n \} \geq \delta_n.$$

La sugerencia que se me ha dado, es para mostrar que, si $\gamma_j$ es una secuencia de no-números negativos con $\sum_{j \geq 1} \gamma_j$ convergentes y $T_j$ es el $j$ésimo polinomio de Chebyshev, a continuación, mostrar que $\displaystyle \sum_{j \geqslant 1} \gamma_j T_{3^j}$ converge uniformemente en $[-1,1]$ a una función continua $f$ y que si $P_n = \sum_{j=1}^n \gamma_j T_{3^j}$ a continuación, podemos encontrar puntos de $$-1 \leqslant x_0 \leqslant \cdots \leqslant x_{3^{n+1}} \leqslant 1$$ with $$f(x_k) - P_n(x_k) = (-1)^{k+1} \sum_{j=n+1}^{\infty} \gamma_j.$$I haven't even managed to do much with the very first part of the hint, I'm having trouble showing that it converges uniformly. Given that I can't come up with a candidate limit, I suppose I need to show that its uniformly Cauchy (assuming that partial sums of $\gamma_j$ son de Cauchy) pero no estoy seguro de cómo trabajar con los polinomios de Chebyshev.

En cualquier caso, estoy seguro de cómo la sugerencia incluso se aplica a la pregunta, puedo ver que $\sum_{j=n+1}^\infty \gamma_j$ es una disminución de la secuencia, que es más o menos el enlace sólo puedo pensar entre las partes, pero de nuevo, no ayuda de ninguna manera.

Answer 1

Como se mencionó en el comentario, el de Bernstein letargo teorema es una generalización de los resultados que usted está buscando. A continuación es una prueba siguiendo las indicaciones que le han dado.

La convergencia

Tenga en cuenta que para para $n \in \mathbb{N}$, $x \in [-1,1]$, $T_n(x)=\cos(n\mbox{Arccos}(x))$. Con $||\cdot||_{\infty}$ el supremum de la norma en $\mathcal{C}^0([-1,1]),\mathbb{R})$, tenemos que el límite superior $\sum \limits_{n=1}^{\infty} ||\gamma_n T_{3^n}||_{\infty} \le \sum \limits_{n=1}^{\infty} |\gamma_n| \cdot 1 = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \gamma_n < +\infty$.

La serie $\sum \limits_{n\ge 0} \gamma_nT_{3^n}$ es normalmente convergente en $[-1,1]$, por lo que es uniformemente convergente a algunos $f$. $ $

$ $

La existencia de la $P_n$

Tenga en cuenta que si $\cos(\theta)=-1$ entonces $\theta \equiv \pi \pmod{2\pi}$ lo $3\theta \equiv \pi \pmod{2\pi}$ y por inducción $\cos(3^k\theta) = -1$. Del mismo modo, $\cos(\theta)=1 \Rightarrow \forall k \ge 0, \cos(3^k\theta)=1$. (*)

Ahora para cualquier $n$, sabemos que $T_{3^n}$ equioscillates: denotando $x_k = \cos\big(\pi - \frac{k\pi}{3^{n+1}}\big)$ para $0\le k \le 3^{n+1}$, tenemos $-1=x_0<...<x_{3^{n+1}}=1$ e $T_{3^{n+1}}(x_k) = \cos\big(3^{n+1}\cdot (\pi - \frac{k \pi}{3^{n+1}})\big) = (-1)^{1-k} = (-1)^{k+1}$. A continuación, para todos los $j \ge n+1$ tenemos $T_{3^j}(x_k) = \cos\big(3^{j-n-1} \cdot 3^{n+1}\mbox{Arccos}(x_k)\big) = (-1)^{k+1}$ debido a (*).

Por lo tanto, $\sum \limits_{j=n+1}^{\infty} \gamma_j T_{3^j}(x_k) = \sum \limits_{j=n+1}^{\infty} \gamma_j (-1)^{k+1}$. Con $P_n := \sum \limits_{j=1}^n \gamma_j T_{3^j}$, tenemos $f-P_n = \sum \limits_{j \ge n+1} \gamma_j T_{3^j}$, así: $$\mbox{Choosing } x_k := \cos\big(\pi-\frac{k\pi}{3^{n+1}}\big) \mbox{for $0\le k \le 3^{n+1}$, we have } (f-P_n)(x_k) = (-1)^{k+1} \sum \limits_{j=n+1}^{\infty} \gamma_j.$$

Conclusión acerca de la distancia de $f$ para el polinomio de espacios

Vamos a denotar $d_p(f)=d(f,\mathbb{R}_p[X]) := \inf \{||f-P||_{\infty}, P\in \mathbb{R}_p[X]\}$. Tenemos $P_n \in \mathbb{R}_{3^n}[X] \subset \mathbb{R}_{3^{n+1}-1}[X]$ e hay $3^{n+1}+1 \ge 3^{n+1}-1$ equioscillation puntos a $f$ así que de acuerdo a la equioscillation teorema, para cualquier grado $p \in [\![3^n,3^{n+1}-1]\!]$, $P_n$ es la mejor aproximación a $f$ en $\mathbb{R}_p[X]$ lo $$\forall n \ge 0,\ \forall p \in [\![3^n,3^{n+1}-1]\!],\ d_p(f) = ||f-P_n||_{\infty} = \sum \limits_{j=n+1}^{\infty} \gamma_j.$$

Ahora una última parte constructiva. Deje $(\delta_n)$ ser cualquier secuencia de real disminución de a $0$. Denotar $\gamma_j = \delta_j - \delta_{j+1}$. A continuación, $\gamma_j$ es no negativo y la suma converge. Aplicamos lo que está por encima de estos $\gamma_j$ y obtener la función de $f$. Deje $p \ge 1$. Existe $n \ge 0$ tal que $3^n \le p < 3^{n+1}$. Por lo tanto $n < p$ (debido a $3^p \ge 2^p \ge p+1$). La anterior desigualdad nos da $d_p(f) = \sum \limits_{j=n+1}^{\infty} \gamma_j = \delta_{n+1} - 0$. Y $(\delta_k)$ es decreciente y $n+1 \le p$ así que, finalmente, $d_p(f) \ge \delta_p$.